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In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zu einander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet), das heißt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen - Verschiebung, Drehung, Spiegelung - zusammensetzen lässt, ineinander überführt werden können. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz um die Möglichkeit der Streckung.
Inhaltsverzeichnis |
Winkel und Streckenverhältnisse stimmen in ähnlichen Figuren überein; somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmäßigen Polygone gleichen Grades, wie gleichseitige Dreiecke und Quadrate, zueinander ähnlich.
Es gilt, dass kongruente Figuren stets ähnlich sind. Das Umgekehrte ist hingegen falsch: Ähnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent, da sie verschieden groß sein können.
Als mathematisches Zeichen für geometrische Ähnlichkeit wird <math>\sim</math> (die Tilde) verwendet, z.B: <math>\!\ \Delta ABC \sim \Delta A'B'C'</math> bedeutet, dass die Dreiecke <math>\Delta ABC</math> und <math>\Delta A'B'C'</math> ähnlich sind. Will man dagegen Kongruenz ausdrücken, so kann stattdessen <math>\simeq</math> oder <math>\cong</math> (eine "Mischung" mit dem Gleichheitszeichen) verwendet werden.
Dreiecke spielen hier eine zentrale Rolle, da sich sehr viele Figuren auf solche zurückführen lassen. Es gilt:
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn
Diese Sätze werden Ähnlichkeitssätze genannt.
Die Strahlensätze machen über die Verhältnisse der Dreiecksseiten bestimmter ähnlicher Dreiecke wichtige Aussagen.
Skaleninvariante Ähnlichkeit in gebrochenen, „fraktalen“ Dimensionen ist Gegenstand der fraktalen Geometrie.
Die Ähnlichkeit ist dabei das Ergebnis der Rekursion nichtlinearer Algorithmen. Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge, deren Grenzlinie an jeder Stelle Ähnlichkeit mit den angrenzenden Abschnitten in allen Größenordnungen aufweist.
