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Eine abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel) ist in der Gruppentheorie eine Gruppe <math>(G,\cdot)</math>, für die das Kommutativgesetz
gilt.
Ist eine Gruppe abelsch, dann schreibt man ihre Verknüpfung meist additiv (Operator „+“; 0 als das neutrale Element oder Nullelement; −a als das Inverse oder Negative von a) oder multiplikativ (Operator „·“; 1 als das neutrale Element oder Einselement; <math>a^{-1}</math> als das Inverse oder Kehrwert von <math>a</math>).
Inhaltsverzeichnis |
Jede zyklische Gruppe ist abelsch; Beispiele sind die additive Gruppe <math>(\Bbb Z, +)</math> der ganzen Zahlen oder der Restklassenring <math>(\Bbb Z/n\Bbb Z, +)</math> mit der Addition.
Die reellen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe mit der Addition; ohne die Null bilden sie eine abelsche Gruppe mit der Multiplikation.
Allgemeiner liefert jeder Körper <math>(K, +, \cdot)</math> in derselben Weise zwei abelsche Gruppen <math>\left(K, +\right)</math> und <math>(K\setminus\{0\}, \cdot)</math>.
Ein weiteres Beispiel ist die Faktorgruppe <math>\Bbb Q/\Bbb Z</math>, die isomorph zur (multiplikativen) Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist. Die Faktorgruppe <math>\R/\Bbb Z</math> ist isomorph zur Gruppe aller komplexen Zahlen mit Betrag 1.
Hingegen ist die Gruppe <math>(\mathrm{GL}_n(R), \cdot)</math> der invertierbaren Matrizen über einem Ring <math>R</math> für <math>n > 1</math> ein Beispiel für eine nicht-abelsche Gruppe, die kleinste nicht-abelsche Gruppe ist die S3.
Für eine (kleine) endliche Gruppe erkennt man leicht, ob sie abelsch ist:
Ist <math>n</math> eine natürliche Zahl und <math>x</math> ein Element der abelschen Gruppe <math>G</math>, dann kann man <math>nx</math> definieren als die Summe <math>x+x+\cdots+x</math> mit genau <math>n</math> Summanden, 0x als 0 (das neutrale Element der Gruppe) und (−n)x als −(nx). Auf diese Weise wird G zu einem Modul über dem Ring <math> \mathbb{Z} </math> . Da jeder <math> \Z </math>-Modul eine abelsche Gruppe ist, kann man also die <math> \Z </math>-Moduln mit den abelschen Gruppen identifizieren. Theoreme über abelsche Gruppen können so oft verallgemeinert werden zu Sätzen für Moduln über Hauptidealringen. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler, also kann man zu jeder Untergruppe eine Faktorgruppe erzeugen. Untergruppen, Faktorgruppen, Produkte und direkte Summen abelscher Gruppen sind wieder abelsch.
Sind <math>f, g\colon G \to H</math> zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen, dann ist ihre Summe f + g, definiert durch
ebenfalls ein Homomorphismus. (Das gilt im Allgemeinen nicht, wenn H nicht abelsch ist.) Die Menge <math>\operatorname{Hom}(G, H)</math> aller Gruppenhomomorphismen wird mit dieser Addition selbst zu einer abelschen Gruppe.
Die abelschen Gruppen mit ihren Homomorphismen bilden eine Kategorie. Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.
Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche Topologie, durch die sie zu topologischen Gruppen werden.
G = G </math> (das heißt, zu jedem <math> g\in G </math> gibt es ein <math> x\in G </math>, so dass <math> n\cdot x = g </math> gilt). Die abelsche Gruppe der rationalen Zahlen <math>\Q</math> mit der Addition als Verknüpfung ist eine teilbare Gruppe.[1]
