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Ein Axiom ist ein Grundsatz einer Theorie, einer Wissenschaft, oder eines axiomatischen Systems, der innerhalb dieses Systems nicht begründet oder deduktiv abgeleitet wird.
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Eine These ist ein (Lehr-)Satz, der eines Beweises bedarf.[1] Ein Axiom ist ein Satz, der beweislos vorausgesetzt wird. Wenn die gewählten Axiome logisch unabhängig sind, so kann keines von ihnen aus den anderen hergeleitet werden. Im Rahmen eines formalen Kalküls sind die Axiome dieses Kalküls jedoch jederzeit auch ableitbar. Da sie in diesem Fall formal aus sich selbst heraus abgeleitet werden, handelt es sich jedoch nicht um einen Beweis. Ansonsten gilt: „Geht eine Ableitung von den Axiomen eines Kalküls bzw. von wahren Aussagen aus, so spricht man von einem Beweis.“[2]
Axiom wird als Gegenbegriff zu Theorem (im engeren Sinn) verwendet.[3]: Theoreme wie Axiome sind Sätze eines formalisierten Kalküls, die durch Ableitungsbeziehungen verbunden sind. Theoreme sind also Sätze, die durch formale Beweisgänge von Axiomen abgeleitet werden.[4] Mitunter werden die Ausdrücke These und Theorem jedoch im weiteren Sinn für alle gültigen Sätze eines formalen System verwendet, d. h. als Oberbegriff, der sowohl Axiome als auch Theoreme im ursprünglichen Sinn umfasst.[5].
Axiome können somit als Bedingungen der vollständigen Theorie verstanden werden, insofern diese in einem formalisierten Kalkül ausdrückbar ist. Innerhalb einer interpretierten formalen Sprache können verschiedene Theorien durch die Auswahl der Axiome unterschieden werden. Bei nicht-interpretierten Kalkülen der formalen Logik spricht man statt von Theorien allerdings von logischen Systemen, die durch Axiome und Schlussregeln vollständig bestimmt sind. Dies relativiert den Begriff der Ableitbarkeit oder Beweisbarkeit: Sie besteht immer nur in Bezug auf ein gegebenes System.[6] Die Axiome und die abgeleiteten Aussagen gehören zur Objektsprache, die Regeln zur Metasprache.[6]
Ein Kalkül ist jedoch nicht notwendigerweise ein Axiomatischer Kalkül, der also „aus einer Menge von Axiomen und einer möglichst kleinen Menge von Schlussregeln“ besteht.[7] Daneben gibt es auch Beweis-Kalküle und Tableau-Kalküle.
Der Ausdruck Axiom wird in drei Grundbedeutungen verwendet. Er bezeichnet
Der klassische Axiombegriff wird auf Euklid und Aristoteles zurückgeführt. Axiom bezeichnet klassisch ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip. Diese Bedeutung war bis in das 19. Jahrhundert herrschend. Als evidentes Prinzip bedarf ein Axiom weder eines Beweises, noch ist es einem Beweis zugänglich. In metaphysischer Interpretation ist es durch Evidenz, Gewissheit und ontologische Priorität gekennzeichnet. Dies ist in der neuzeitlichen Axiomatik mit ihrer Formalisierung entfallen. Axiome unterscheiden sich von anderen Aussagen nur dadurch, dass sie nicht abgeleitet sind.[8]
In den empirischen Wissenschaften bezeichnet man als Axiome auch grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind.[9] Als Beispiel werden die Newtonschen Axiome der Mechanik genannt.
Auch wissenschaftliche Theorien, insbesondere die Physik, beruhen auf Axiomen. Aus diesen werden Theorien geschlussfolgert, deren Theoreme und Korollare Vorhersagen über den Ausgang von Experimenten treffen. Stehen Aussagen der Theorie im Widerspruch zur experimentellen Beobachtung, werden die Axiome angepasst. Beispielsweise liefern die Newtonschen Axiome nur für „langsame“ und „große“ Systeme gute Vorhersagen und sind durch die Axiome der Speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik abgelöst bzw. ergänzt worden. Trotzdem verwendet man die Newtonschen Axiome weiter für solche Systeme, da die Folgerungen einfacher sind und für die meisten Anwendungen die Ergebnisse hinreichend genau sind.
Durch Hilbert (1899) wurde ein formaler Axiombegriff herrschend: Ein Axiom ist jede unabgeleitete Aussage. Dies ist eine rein formale Eigenschaft. Die Evidenz oder der ontologische Status eines Axioms spielt keine Rolle und bleibt einer gesondert zu betrachtenden Interpretation überlassen.
Ein Axiom ist dann eine grundlegende Aussage, die
Teilweise wird behauptet, in diesem Verständnis seien Axiome völlig willkürlich[10] - ein Axiom sei „ein unbewiesener und daher unverstandener Satz“[10], denn ob ein Axiom auf Einsicht beruht und daher „verstehbar“ ist, spielt zunächst keine Rolle[11] Richtig daran ist, dass ein Axiom – bezogen auf eine Theorie – unbewiesen ist. Das heißt aber nicht, dass ein Axiom unbeweisbar sein muss. Die Eigenschaft, ein Axiom zu sein, ist relativ zu einem formalen System. Was in einer Wissenschaft ein Axiom ist, kann in einer anderen ein Theorem sein.
Ein Axiom ist unverstanden, nur insofern seine Wahrheit formal nicht bewiesen, sondern vorausgesetzt ist. Der moderne Axiombegriff dient dazu, die Axiomeigenschaft von der Evidenzproblematik abzukoppeln, was aber nicht notwendigerweise bedeutet, dass es keine Evidenz gibt. Es ist allerdings ein bestimmendes Merkmal der axiomatischen Methode, dass bei der Deduktion der Theoreme nur auf der Basis formaler Regeln geschlossen wird und nicht von der Deutung der axiomatischen Zeichen Gebrauch gemacht wird.[12]
Axiome beruhen auch nur in pointierter Formulierung auf Willkür. In einem formalen System werden an sie gewöhnlich die Forderungen nach Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des axiomatischen Systems gestellt.[13]
Diese Axiome hat man jahrhundertelang (im ersten Fall) bzw. jahrelang (im zweiten Fall) als „selbstverständlich“ erachtet, bevor sie in beiden Fällen in Frage gestellt und widerlegt wurden, im ersten Fall durch Einstein (1905). Im zweiten Fall dagegen war er es selbst, dessen Vorstellungen (erst lange nach seinem Tod) widerlegt wurde.
Insgesamt sind dies zwei besonders sinnfällige Beispiele dafür, dass die axiomatischen Voraussetzungen einer Aussage zwar nicht beweisbar, aber u. U. falsifizierbar sind (siehe Karl Popper), d. h. es kann in diesen Fällen durch konkrete Experimente gezeigt werden, dass gewisse philosophisch als „selbstverständlich“ erachtete Axiome in der Natur nicht erfüllt sind.
Wiktionary: Axiom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
