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Die Balkentheorie beschreibt das Verhalten von Balken unter Belastung, insbesondere seine Durchbiegung. Sie ist ein Teilgebiet der technischen Mechanik, speziell der Festigkeitslehre, der Elastizitätstheorie und der Statik. Häufig spricht man auch exakter von der Biegetheorie des Balkens.
Zur Anwendung kommt die Balkentheorie in vielen Ingenieurwissenschaften, beispielsweise
Berechnet werden v.a. die Längs-, Biege- und Querverformung und die Biegelinie, wobei das Biegemoment aus der Kräfte- bzw. Lastverteilung folgt. Voraussetzung dafür ist die genaue Kenntnis der Auflagepunkte des Balkens bzw. Trägers, bzw. ob sie statisch un- oder überbestimmt sind. Zur Berechnung erforderlich ist der Elastizitätsmodul des Materials und das geometrische Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts, aus denen die Biegesteifigkeit folgt.
Inhaltsverzeichnis |
Die Balkentheorie befasst sich mit der Berechnung von Bauteilen mit folgenden Merkmalen, die als Balken bezeichnet werden:
Die Balkentheorie bezieht sich auch auf Bauteile, die aus einzelnen Balken zusammengesetzt sind.
Allgemein unterscheidet man
Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die Auflagerkräfte und Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Statisch bestimmte Balken besitzen in Längsrichtung ein festes Auflager und ein längsbewegliches Auflager oder sind an einem Balkenende eingespannt. Als „fest“ bezeichnet man ein Auflager dann, wenn es horizontal und vertikal gehalten wird und somit Horizontal- und Vertikalkräfte übertragen kann. Ein bewegliches Auflager kann sich dagegen horizontal oder vertikal verschieben und somit keine Kräfte in dieser Richtung abtragen.
Bei statisch unbestimmt gelagerten Balken sind zusätzlich zu den Gleichgewichtsbedingungen auch Verträglichkeitsbedingungen zu erfüllen, um die Auflagerkräfte und Schnittgrößen bestimmen zu können. Statisch unbestimmte Balken besitzen beliebig viele Auflager oder Einspannungen.
Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der Gleichung der Biegelinie, einer linearen inhomogenen Differentialgleichung berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung <math>w</math> (in <math>y</math>-Richtung) und der Streckenlast (Gewicht pro Strecke) <math>q</math> als Funktion der Koordinate <math>x</math> entlang der Balkenachse her.
Die Biegesteifigkeit gibt an, wie groß das Biegemoment im Verhältnis zur Krümmung ist. Für homogene Querschnitte ergibt sie sich als Produkt <math>EI</math> aus dem Elastizitätsmodul <math>E</math> des Materials und dem geometrischen Flächenträgheitsmoment <math>I</math> des gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als
Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt <math>h \cdot b</math> (in <math>y</math>- respektive <math>z</math>-Richtung) ist
Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen.
Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich
M(x) = -EI\,w(x)
</math>
Querkraft:
Q(x) = -(EI(x)\,w(x))'
</math>
Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen Druckfaser und Zugfaser:
\sigma_B(z) = \frac{M}{I} z </math> Darin ist <math>I</math> das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert <math>I/z</math> beim maximalen <math>z</math> (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment <math>W</math>. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu <math>I/h=bh^2</math>.
Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Hauptträgheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, kann es sich auch nach vorn oder hinten durchbiegen. Nur in Richtung einer Hauptträgheitsachse biegt sich ein Balken in Richtung der Belastung und nicht quer dazu.
Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung <math>q(x)</math>=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.
Die Biegespannung im Besonderen beschreibt die Kraft, welche auf den Querschnitt (z. B. eines Balkens) wirkt, der senkrecht zu seiner Ausdehnungsrichtung belastet wird.
Die Normalspannung im Balkenquerschnitt ist:
Ist das Moment positiv, treten für <math>z</math> > 0 Zug- und für <math>z</math> < 0 Druckspannungen auf. Die betragsmäßig größte Spannung tritt demnach in der äußersten Faser <math>z_\mathrm{max}</math> auf.
Das Widerstandsmoment <math>W</math> gibt das entgegenwirken zur Spannung <math>\sigma\,</math> an
(<math>I</math> beschreibt das Flächenträgheitsmoment)
Demnach ergibt sich für die maximale Biegespannung:
Je größer das Widerstandsmoment, desto kleiner ist somit die Biegespannung.
Bis hier wurde nur die Statik behandelt. Die Balkendynamik, etwa um Balkenschwingungen zu berechnen, basiert auf der Gleichung
(EI(x)\,w(x,t)) + b\,\dot{w}(x,t) + m\,\ddot{w}(x,t)= q(x,t)
</math> Das Problem hängt hier nicht nur vom Ort <math>x</math>, sondern zusätzlich von der Zeit <math>t</math> ab. Es kommen zwei weitere Parameter des Balkens hinzu, nämlich die Massenverteilung <math>m</math> (in kg/m) und die Strukturdämpfung <math>b</math>. Wenn das Bauteil unter Wasser schwingt, beinhaltet <math>m</math> auch die hydrodynamische Masse, und in <math>b</math> kann man eine linearisierte Form der hydrodynamischen Dämpfung einbeziehen, siehe Morison-Gleichung.
Während bisher die Kräfte und Momente näherungsweise am unverformten Bauteil bilanziert wurden, ist es im Falle von Knickstäben erforderlich, ein Balkenelement im verformten Zustand zu betrachten. Knickstab-Berechnungen basieren auf der Gleichung
(EI(x)\,w(x)) + (N\,w'(x))' = q(x)
</math> und zwar im einfachsten Fall mit <math>q=0</math>. Hinzu kommt die axial im Knickstab wirkende Druckkraft <math>N</math>, die je nach Randbedingungen die Knicklast nicht überschreiten darf, damit der Stab nicht ausknickt.
Ein Anwendungsfall, bei dem Balkentheorie Dritter Ordnung nötig wird, ist z. B. das Verlegen von Offshore-Pipelines von einem Wasserfahrzeug aus in großen Wassertiefen, hier nur als ebener statischer Fall wiedergegeben. Ein sehr langer Rohrstrang hängt vom Fahrzeug zum Meeresboden herunter, ist gekrümmt wie ein Seil, jedoch biegesteif. Die nichtlineare Differentialgleichung lautet hier
EI\,\varphi(s) - H\,\sin\varphi(s) + (ws-V) \cos\varphi(s) = 0
</math> Die Koordinate heißt hier nicht mehr <math>x</math>, sondern <math>s</math>. Das ist die Bogenlänge entlang der Pipeline. <math>H</math> ist die entlang der Pipeline konstante Horizontalkomponente der Schnittkraft (Horizontalzug) und wird dadurch beeinflusst, wie stark das Fahrzeug mit seinen Ankern und dem Tensioner an der Pipeline zieht, damit sie nicht durchsackt und bricht. Der Tensioner ist eine Vorrichtung aus zwei Raupenketten, die die Pipeline an Bord einspannt und sie unter Zugbelastung hält. <math>w</math> ist das Gewicht pro Länge abzüglich Auftrieb. <math>V</math> ist eine Rechengröße, die man sich als kleine Bodenauflagerkraft vorstellen kann. Die Geometrie wird durch den Neigungswinkel <math>\varphi</math> beschrieben, der mit der Horizontalkoordinate <math>x(s)</math> und der Vertikalkoordinate <math>z(s)</math> in folgendem Zusammenhang steht:
\partial x(s)/\partial s = \cos\varphi(s) \quad\quad\quad \partial z(s)/\partial s = \sin\varphi(s)
</math>
Nach qualitativen Vorarbeiten von Leonardo da Vinci wurde die Balkentheorie von Galileo Galilei begründet. Er ordnete die Neutralfläche allerdings fehlerhaft an der Unterseite des Balkens an. Knickstäbe wurden von Leonhard Euler betrachtet.
„Väter“ der modernen Biegetheorie von Leonardo da Vinci bis Navier:
