Der Begriff Differentialform (oft auch alternierende Differentialform genannt) geht auf den Mathematiker Élie Joseph Cartan zurück. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie. Sie dienen insbesondere der koordinatenunabhängigen Integration auf einer Mannigfaltigkeit.

Kontext

Es sei <math>U</math>

• eine offene Teilmenge des <math>\mathbb R^n</math>
• oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des <math>\mathbb R^n</math>
• oder allgemein ein offener Teil einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

• den Begriff der differenzierbaren Funktion auf <math>U</math>; der Raum der differenzierbaren Funktionen auf <math>U</math> werde mit <math>C^\infty(U)</math> bezeichnet;
• den Begriff des Tangentialraums <math>\mathrm T_pU</math> an <math>U</math> in einem Punkt <math>p\in U</math>;
• den Begriff der Richtungsableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial X}</math> für einen Tangentialvektor <math>X\in\mathrm T_pU</math> und eine differenzierbare Funktion <math>f</math>;
• den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf <math>U</math>; der Raum der Vektorfelder auf <math>U</math> sei mit <math>\Gamma\mathrm TU</math> bezeichnet.

Der Dualraum des Tangentialraums <math>\mathrm T_pU</math> wird als Kotangentialraum <math>\mathrm T^*_pU</math> bezeichnet.

Differentialformen

Definition

Eine Differentialform vom Grad <math>k</math> oder kurz k-Form <math>\omega</math> ist ein glatter Schnitt in der <math>k</math>-ten äußeren Potenz des Kotangentialbündels von <math>U</math>. In mathematischer Schreibweise: <math>\omega \in \Gamma(\Lambda^k(T^*U)) </math>. Dies bedeutet, dass jedem Punkt <math>p \in U</math> eine alternierende Multilinearform <math>\omega_p</math> auf dem Tangentialraum <math>T_pU</math> zugeordnet wird, und zwar so, dass für <math>k</math> glatte Vektorfelder <math>X_1,\ldots,X_k</math> die Funktion

<math>p\mapsto\omega_p((X_1)_p,\ldots,(X_k)_p)\in\mathbb R</math>

glatt (das heißt unendlich oft differenzierbar) ist.

Alternativ kann man eine <math>k</math>-Form <math>\omega</math> als eine alternierende, glatte multilineare Abbildung <math>\omega\colon (\Gamma TU)^k \to C^\infty(U)</math> auffassen. Das bedeutet: <math>\omega</math> ordnet <math>k</math> Vektorfeldern <math>X_1,\ldots,X_k</math> eine Funktion <math>\omega(X_1,\ldots,X_k)</math> zu, so dass

• <math>\omega(X_1,\ldots,X'_i+X_i,\ldots,X_k)=\omega(X_1,\ldots,X'_i,\ldots,X_k)+\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k)</math>
• <math>\omega(X_1,\ldots,f\cdot X_i,\ldots,X_k)=f\cdot\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_k)</math> für <math>f\in C^\infty(U),1\leq i\leq k</math>

und

• <math>\omega(X_1,\ldots,X_i,\ldots,X_j,\ldots,X_k)=-\omega(X_1,\ldots,X_j,\ldots,X_i,\ldots,X_k)</math>

gilt.

Raum der Differentialformen

Die Menge der k-Formen auf <math>U</math> bildet einen Vektorraum und wird mit <math>\Omega^k(U)</math> bezeichnet. Weiterhin setzt man

<math>\Omega(U) = \bigoplus_{k=1}^\infty \Omega^k(U)</math>.

Für endlichdimensionale Mannigfaltigkeiten ist diese Summe endlich, da für <math>k>\dim U</math> der Vektorraum <math>\Omega^k(U)</math> der Nullvektorraum ist. Die Menge <math>\Omega(U)</math> ist eine Algebra mit dem äußeren Produkt als Multiplikation und somit auch wieder ein Vektorraum. Aus topologischer Sicht ist dieser Raum auch eine Garbe.

Man kann <math>\omega_p</math> als Element der äußeren Potenz <math>\Lambda^k (T^*_pU)</math> auffassen; infolgedessen definiert das äußere Produkt (d. h. das Produkt <math>\wedge</math> in der äußeren Algebra) Abbildungen

<math>\Omega^k(U)\times\Omega^\ell(U)\to\Omega^{k+\ell}(U),\quad(\omega,\eta)\mapsto\omega\wedge\eta,</math>

wobei <math>\omega\wedge\eta</math> punktweise definiert ist:

<math>(\omega\wedge\eta)_p=\omega_p\wedge\eta_p.</math>

Dieses Produkt ist graduiert-kommutativ, es gilt

<math>\omega\wedge\eta=(-1)^{\deg\omega\cdot\deg\eta}\cdot\eta\wedge\omega;</math>

dabei bezeichnet <math>\deg</math> <math>\omega</math> den Grad von <math>\omega</math>, d. h. ist <math>\omega</math> eine k-Form, so ist <math>\deg</math> <math>\omega=k</math>. Das heißt, dass das Produkt zweier Formen ungeraden Grades antikommutativ ist, in allen anderen Kombinationen ist das Produkt kommutativ.

Beispiele

• Glatte Funktionen sind 0-Formen.
• Pfaffsche Formen sind 1-Formen.

Koordinatendarstellung

Es sei <math>M</math> eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter sei <math>(U,x)</math> ein lokales Koordinatensystem (Karte). So ist

<math>B = \{\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}\mid i_1<\ldots<i_k \}</math>

eine Basis der äußeren Algebra über dem Kotangentialraum von <math>M</math>, also von <math>\Lambda(T_p^*M)</math>.

Jede Differentialform <math>\omega \in \Omega(M)</math> hat auf allen Karten <math>(U,x)</math> eine eindeutige Darstellung

<math>\omega|_U=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n}a_{i_1,\ldots,i_k}(x) \cdot\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}</math>

mit geeigneten differenzierbaren Funktionen <math>a_{i_1,\ldots,i_k}</math>. Auf den Kartenübergangsgebieten ist die Differentialform ebenfalls wohldefiniert. An dieser Darstellung kann man leicht ablesen, dass für <math>k>n</math> die Nullform <math>\omega=0</math> die einzige Differentialform ist.

Äußere Ableitung

Definition

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung <math>\mathrm d\omega</math> einer <math>k</math>-Form <math>\omega</math> wird induktiv mithilfe der Lie-Ableitung und der Cartan-Formel

<math>\mathcal L_X=i_X\circ\mathrm d+\mathrm d\circ i_X</math>

definiert; dabei ist <math>X</math> ein Vektorfeld, <math>\mathcal L_X</math> die Lie-Ableitung und <math>i_X</math> die Einsetzung von <math>X</math>.

Ist beispielsweise <math>\omega</math> eine 1-Form, so ist

<math>(\mathcal L_X\omega)(Y)=\mathcal L_X(\omega(Y))-\omega (\mathcal L_X(Y))=X\omega(Y)-\omega([X,Y])</math>

und

<math>((\mathrm d\circ i_X)\omega)(Y)=(\mathrm d(\omega(X)))(Y)=Y\omega(X),</math>

also

<math>\,\mathrm d\omega(X,Y)=X\omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y])</math>

für Vektorfelder <math>X,Y</math>; dabei bezeichnet <math>[X,Y]</math> die Lie-Klammer.

Die allgemeine Formel lautet

<math>\begin{array}{rcl}

\mathrm d\omega(X_0,\ldots,X_k) &=&\sum_{i=0}^k(-1)^{i} X_i\omega(X_0,\ldots,\hat X_i,\ldots,X_k)+\\[0.5em] &&+\sum_{0\leq i<j \leq k}(-1)^{i+j}

  \omega([X_i,X_j],X_0,\ldots,\hat X_i,\ldots,\hat X_j,\ldots,X_k)\,;

\end{array}</math> dabei bedeutet der Haken in <math>\hat X_i</math>, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist.

Eigenschaften

Die äußere Ableitung hat folgende Eigenschaften:

• Die äußere Ableitung ist eine Antiderivation. Das heißt, <math>\mathrm d</math> ist <math>\mathbb R</math>-linear, und für <math>\alpha \in \Omega^k(U), \beta \in \Omega^l(U)</math> gilt die Leibnizregel

<math> \mathrm{d}(\alpha \wedge \beta) = \mathrm{d} \alpha \wedge \beta + (-1)^{k} \alpha \wedge \mathrm{d}\beta.</math>

• Sei <math>f \in C^\infty(U)</math>, dann stimmt die äußere Ableitung mit dem totalen Differential überein.
• <math>\mathrm{d}^2 = \mathrm d \circ \mathrm d = 0</math>
• Die äußere Ableitung respektiert Einschränkungen. Es sei also <math>U \subset V \subset M</math> offen und sei <math>\alpha \in \Omega^k(V)</math>, dann gilt <math>\mathrm{d}(\alpha|_U) = (\mathrm{d}\alpha)|_U</math>. Man nennt die äußere Ableitung deshalb auch einen lokalen Operator.

Diese vier Eigenschaften charakterisieren die äußere Ableitung vollständig. Das heißt, man kann aus diesen Eigenschaften die obige Summenformel herleiten. Rechnet man mit der äußeren Ableitung, so bevorzugt man das Rechnen mit den Eigenschaften der Ableitung und vermeidet die obige Formel.

Koordinatendarstellung der äußeren Ableitung

Sei <math>p \in M</math> ein Punkt auf der Mannigfaltigkeit. Die äußere Ableitung hat in diesem Punkt die Darstellung

<math>\mathrm d\omega|_p=\sum_{1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n} \sum_{i=1}^n \left. \frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_{i}}\right|_p \mathrm d x_{i}\wedge\mathrm dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_{i_k}.</math>

Um die dabei entstehenden Ausdrücke wieder durch die Standardbasis auszudrücken, sind die Identitäten

<math>\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_j=-\mathrm dx_j\wedge\mathrm dx_i</math>

und

<math>\mathrm dx_i\wedge\mathrm dx_i=0</math>

wichtig.

Beispiel

• Für <math>n=2</math> gilt

<math>\begin{array}{cl}

&\mathrm d(f_1\cdot\mathrm dx_1+f_2\cdot\mathrm dx_2)\\ =&\mathrm df_1\wedge\mathrm dx_1+\mathrm df_2\wedge\mathrm dx_2\\[0.5em] =&\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_1 +\frac{\partial f_2}{\partial x_1}\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2 +\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\cdot\mathrm dx_2\wedge\mathrm dx_2\\[0.5em] =&\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_1}-\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\right)\cdot\mathrm dx_1\wedge\mathrm dx_2. \end{array}</math>

• Für n=3 bilden die Koeffizienten der Differentialform bei analogem Vorgehen den rot (Rotations-) Vektor der Vektoranalysis.

Weitere Operationen auf Differentialformen

Inneres Produkt

Sei <math>X \in T(M)</math> ein glattes Vektorfeld. Das innere Produkt ist eine lineare Abbildung

<math>i_X \colon \Omega^k(M) \to \Omega^{k-1}(M),</math>

welche durch

<math>\omega \mapsto \omega(X, \cdot , \ldots , \cdot)</math>

gegeben ist. Das heißt, das innere Produkt bildet eine k-Form <math>\omega</math> auf eine (k-1)-Form ab, indem die Form an einem festen Vektorfeld <math>X</math> ausgewertet wird. Diese Abbildung ist ein Analogon der Tensorverjüngung auf dem Raum der Differentialformen. Deshalb wird diese Operation im Englischen auch manchmal contraction genannt.

Das innere Produkt <math>i_X</math> ist eine Antiderivation. Das heißt, für <math>\omega \in \Omega^k(M)</math> und <math>\nu \in \Omega^l(M)</math> gilt die Leibnizregel

<math>i_X(\omega \wedge \nu) = (i_X \omega) \wedge \nu + (-1)^k\omega \wedge (i_X \nu).</math>

Außerdem gilt für das innere Produkt <math>i_X \circ i_X = 0.</math>

Rücktransport (bzw. pullback) von Differentialformen

Ist <math>f\colon M \to N</math> eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist für <math>\omega \in \Omega^k(N)</math> die mittels <math>f</math>  zurückgeholte Form <math>( f^*\omega ) \in \Omega^k(M)</math> wie folgt definiert:

<math>( f^*\omega )(X_1, \ldots, X_k) := \omega(\mathrm d f(X_1), \ldots, \mathrm df(X_k))\,.</math>

Dabei ist <math>df\colon TM \to TN</math> die durch f induzierte Abbildung der Ableitungen, auch „push-forward“ genannt. Mit den anderen Operationen ist das Zurückziehen verträglich, es gilt

1.) <math>(f^*(\mathrm d\omega)) = \mathrm d(f^*\omega)</math>

(pedantisch geschrieben: auf der linken Seite <math>\mathrm d = \mathrm d^{(N)}</math>, auf der rechten Seite dagegen <math>\mathrm d = \mathrm d^{(M)}</math>), und

2.) <math>(f^*(\omega \wedge \eta)) = (f^*\omega ) \wedge (f^*\eta )</math>

für alle <math>\omega, \eta \in \Omega^{pback}(N)</math>.

Insbesondere induziert <math>f</math> eine Abbildung

<math>f^{pback}\colon\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(N)\longrightarrow\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(M),</math>

wobei die Umkehr der Pfeilrichtung gegenüber <math>f\colon M\to N</math> zu beachten ist („pull-back“, „Kohomologie“ statt „Homologie“).

Davon abgesehen können die „pull-back“-Operationen von Differentialformen aber i.W. als „trivial“ bezeichnet werden.

Duale Form und Stern-Operator

Betrachtet werden äußere Formen in einem n-dimensionalen Raum, in dem ein inneres Produkt (Metrik) definiert ist, so dass eine orthonormale Basis <math>e_i</math> des Raumes gebildet werden kann. Die zu einer äußeren Form von Grad k in diesem n-dimensionalen Raum duale Form ist eine (n-k)-Form

<math>*(e_1\wedge e_2\wedge \ldots \wedge e_k)= e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \ldots \wedge e_n.</math>

Dabei seien beide Seiten in orientierter Form geschrieben. Formal wird die duale Form durch Anwendung des (Hodge)*-Operators bezeichnet. Speziell für Differentialformen im dreidimensionalen euklidischen Raum ergibt sich:

<math>*\mathrm{d}x=\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z</math>

<math>*\mathrm{d}y=\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x</math>

<math>*\mathrm{d}z=\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y</math>

mit den 1-Formen dx, dy dz. Dabei wurde berücksichtigt, dass die orientierte Reihenfolge hier (y,z), (x,y) und (z, x) ist (zyklische Verschiebungen in (x,y,z)).

Das *-Symbol soll die Tatsache unterstreichen, dass damit ein inneres Produkt im Raum der Formen auf einem zugrundeliegenden Raum M gegeben ist, denn <math>\alpha \wedge *\beta</math> lässt sich für zwei k-Formen <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> als Volumenform schreiben und das Integral

<math>(\alpha,\beta)=\int_M \alpha\wedge *\beta</math>

liefert eine reelle Zahl. Der Zusatz dual zeigt an, dass die zweifache Anwendung auf eine k-Form wieder die k-Form ergibt, bis auf das Vorzeichen, das gesondert betrachtet werden muss. Genauer gilt für eine k-Form in einem n-dimensionalen Raum, dessen Metrik die Signatur s hat (s=+1 im euklidischen Raum, s=−1 im Minkowski-Raum):

<math>**\alpha=(-1)^{k(n-k)}s\;\alpha</math>

Oben wurde gezeigt, wie sich im 3-dimensionalen euklidischen Raum bei äußerer Ableitung einer 1-Form <math>\alpha</math> die 2-Form <math>d \wedge \alpha </math> ergibt mit den Komponenten des Rotations-Vektors der Vektoranalysis als Koeffizienten. Diesen rot-Vektor kann man mit Hilfe des *-Operators nun auch formal direkt als 1-Form schreiben: <math>* ( d \wedge \alpha ) </math>. Analog wird der *-Operator zur „Übersetzung“ des oben formulierten Satzes von Stokes in die Vektoranalysis-Form benutzt.

Die relativistischen Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik auf einer vierdimensionalen Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit M (mit Metrik <math>g_{\alpha ,\beta}</math> und Determinante der Metrik g, wobei hier natürlich die Signatur eines Minkowski-Raumes vorliegt, etwa <math>\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)</math> für <math>\alpha =0,1,2,3</math>, entsprechend der früher gegebenen Definition der Pseudo-Länge <math>\mathrm{ds}</math>), lauten beispielsweise unter Verwendung dieser Symbolik:

<math> \mathrm{d}\bold{F} = 2(\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma})\mathrm{d}\,x^{\alpha}\wedge \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} = 0</math>

(die so genannte Bianchi-Identität) und

<math> \mathrm{d} (* \bold{F}) = {F^{\alpha\beta}}_{;\alpha}\sqrt{-g} \, \epsilon_{\beta\gamma\delta\eta}\mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\eta} = \bold{j}</math>

mit dem elektromagnetischen Feldtensor ausgedrückt als 2-Form

<math> \bold{F} = F_{\alpha\beta} \,\mathrm{d}\,x^{\alpha} \wedge \mathrm{d}\,x^{\beta}\,,</math>

z. B. <math>F_{1,2}=B_z</math>, mit der z-Komponente des Vektors der magnetischen Induktion, und mit dem Strom (geschrieben als 3-Form)

<math> \bold{j} = j^{\alpha} \sqrt{-g} \, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta}</math>

Hierbei ist <math>\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}</math> das Antisymmetrisierungs-Symbol (Levi-Civita-Symbol) und das Semikolon steht für die kovariante Ableitung. Wie üblich wird über doppelt vorkommende Indices summiert (Einstein-Summenkonvention) und es werden natürliche Einheiten verwendet (Lichtgeschwindigkeit c ersetzt durch 1). Durch Anwendung des *-Operators kann man den zweiten Satz der vier Maxwellgleichungen auch alternativ mit einer 1-Form für den Strom schreiben. Aus den Maxwellgleichungen sieht man, dass <math>\mathbf F</math> und <math>*\mathbf F</math> in der Elektrodynamik ganz unterschiedlichen Gleichungen gehorchen, die Dualität also keine Symmetrie dieser Theorie ist. Das liegt daran, dass die Dualität elektrische und magnetische Felder vertauscht, in der Elektrodynamik aber keine magnetischen Monopole bekannt sind. Die freien Maxwellgleichungen, d. h. für <math>\mathbf j\equiv 0</math>, haben dagegen duale Symmetrie.

Die Besonderheiten, die sich beim Übergang zum Dualen dadurch ergeben, dass der Elektrodynamik nicht der euklidische Raum <math>\mathbb{R}^4</math>, sondern der Minkowski-Raum <math>\mathbb{M}^4</math> zugrunde liegt, wurden in einem früheren Paragraphen bereits angedeutet und hier benutzt.

Exakte und geschlossene Formen; de-Rham-Kohomologie

Eine <math>k</math>-Form <math>\omega</math> heißt geschlossen, wenn <math>\mathrm d\omega=0</math> gilt; sie heißt exakt, wenn es eine <math>(k-1)</math>-Form <math>\eta</math> gibt, so dass <math>\omega=\mathrm d\eta</math> gilt. Aufgrund der Formel <math>\mathrm d\mathrm d\eta=0</math> ist jede exakte Form geschlossen. Man beachte, dass Geschlossenheit im Gegensatz zu Exaktheit eine lokale Eigenschaft ist: Ist <math>\{V_\alpha\}</math> eine offene Überdeckung von <math>U</math>, so ist eine <math>k</math>-Form <math>\omega</math> genau dann geschlossen, wenn die Einschränkung von <math>\omega</math> auf <math>V_\alpha</math> für jedes <math>\alpha</math> geschlossen ist.

Der Faktorraum

{geschlossene <math>k</math>-Formen auf <math>U</math>}/{exakte <math>k</math>-Formen auf <math>U</math>}

heißt <math>k</math>-te de-Rham-Kohomologiegruppe <math>\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U)</math> (nach Georges de Rham). Sie enthält Informationen über die globale topologische Struktur von <math>U</math>.

Das Poincaré-Lemma (nach Henri Poincaré) besagt, dass

<math>\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(\mathbb R^n)=0</math> für <math>k>0</math>

gilt, d. h., dass in <math>\mathbb R^n</math> jede geschlossene Form auch exakt ist. Diese Aussage gilt unter anderem auch im Minkowski-Raum <math>\mathbb{M}^4\,</math>

Ein Beispiel aus der Elektrodynamik

In der Elektrodynamik impliziert diese Aussage, dass zu jedem Paar elektromagnetischer Felder <math> \vec E ,\vec B </math>, die zu einer zweistufigen alternierenden Differentialform <math>\mathbf F</math> in einem vierdimensionalen sog. Minkowskiraum zusammengefasst werden können, eine einstufige Vektorpotentialform <math>\mathbf A</math> mit <math>\mathbf F=\mathrm{d}\mathbf{A}</math> existiert, ein sog. „Viererpotential“ (siehe auch: Vierervektor).

Auch Strom- und Ladungsdichten können zu einem Vierervektor bzw. zu einer entsprechenden 3-Form, <math>\mathbf j</math>, zusammengefasst werden.

Die Feldstärkeform <math>\mathbf F</math> erfüllt <math>\mathrm{d}\mathbf F =0</math>. Das entspricht den ersten beiden Maxwellschen Gleichungen. Die dritte und vierte der Maxwell-Gleichungen ergeben (in geeigneten Einheiten): <math>\mathrm{d}(\mathbf{F^*})=\mathbf j</math>, wobei <math>\mathbf{F^*}</math> die zu <math>\mathbf F</math> duale Form ist (s.u.) .

Die Potentialform <math>\mathbf{A}</math> ist nur bis auf einen additiven Zusatz <math>\mathrm d\chi</math> eindeutig: <math>\mathbf{A}</math> und <math>\mathbf{A} +\mathrm d\chi</math> ergeben dasselbe <math>\mathbf F</math>, mit einer Eichform <math>\chi</math>, die <math>\mathrm d(\mathrm d\chi )\equiv 0</math> erfüllt, aber ansonsten willkürlich ist. Man kann diese zusätzliche sog. Eichfreiheit dazu benutzen, um punktweise zusätzliche Nebenbedingungen zu erfüllen. In der Elektrodynamik fordert man beispielsweise, dass für <math>\mathbf A</math> überall die zusätzliche sog. Lorenz-Bedingung (Lorenz-Eichung) <math>\mathrm{d}(*\mathbf A )=0</math> gelten soll (in den vier Komponenten lautet diese Bedingung einfach <math>\partial_\nu A^\nu =0</math>). Durch diese „Eichfixierung“ ergibt sich schließlich als eindeutige Lösung aller vier Maxwell-Gleichungen das sog. „retardierte Potential“:

<math>A^\nu (\mathbf r , t) =\int\,\frac{j^\nu (\mathbf{r'},t-\frac{|\mathbf r -\mathbf{r'}|}{c}) }{4\pi|\mathbf r -\mathbf{r'}|}\,\mathrm d^3 r'\,</math>

Beim Übergang zum Dualen ist zu beachten, dass man es nicht mit dem <math>\mathbb{R}^4</math>, sondern mit <math> \mathbb{M}^4</math> zu tun hat mit einer entsprechend anderen Metrik. Das bei Lorentztransformationen invariante Linienelement ist <math>\mathrm{d}s^2=-c^2\mathrm d\tau ^2=dx^2+ dy^2+dz^2-c^2dt^2 =-\mathrm dx_\nu\mathrm dx^\nu </math>, wobei <math>\mathrm d\tau</math> das Differential der Eigenzeit ist und die Summenkonvention verwendet wurde. Ko- und kontravariante Vierervektorkomponenten unterscheiden sich nun. Zwar ist <math>+\mathrm dx_0\equiv +\mathrm dx^0=c\, dt</math>, aber <math>-\mathrm d x_1\equiv +\mathrm dx^1= dx,\,\,-\mathrm dx_2\equiv +\mathrm dx^2= dy,\,\,-\mathrm dx_3\equiv +\mathrm dx^3=dz</math>.

Fortsetzung: das Lemma von Poincaré

Allgemeiner gilt die Aussage des besagten Lemmas für zusammenziehbare offene Teilmengen U des <math>\mathbb R^n</math>. Der Beweis ist konstruktiv, d. h. es werden explizite Beispiele konstruiert, was für Anwendungen, s.o., sehr wichtig ist. (Man beachte, dass <math>\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U)</math> aus den lokal konstanten Funktionen besteht, da es per definitionem keine exakten 0-Formen gibt. Es ist also <math>\mathrm H^0_{\mathrm{dR}}(U)\not=0</math> für jedes <math>U\not=\varnothing</math>.)

Ist <math>\omega</math> geschlossen und <math>\eta=\mathrm d\eta'</math> exakt, so folgt

<math>\omega\wedge\eta=\omega\wedge\mathrm d\eta'=(-1)^{\deg\omega}\mathrm d(\omega\wedge\eta')\,.</math>

Entsprechendes gilt, falls <math>\omega</math> exakt und <math>\eta</math> geschlossen ist. Damit gibt es induzierte Abbildungen

<math>\mathrm H^k_{\mathrm{dR}}(U)\times H^m_{\mathrm{dR}}(U)\longrightarrow\mathrm H^{k+m}_{\mathrm{dR}}(U).</math>

Integrationstheorie

Orientierung

Ist <math>n=\dim U</math>, so heißt eine <math>n</math>-Form auf <math>U</math>, die in keinem Punkt verschwindet, eine Orientierung auf <math>U</math>. <math>U</math> zusammen mit einer derartigen Form heißt orientiert. Eine Orientierung <math>\omega</math> definiert Orientierungen der Tangential- und Kotangentialräume: eine Basis <math>\eta_1,\ldots,\eta_n</math> des Kotangentialraums in einem Punkt <math>p</math> sei positiv orientiert, wenn

<math>\omega_p=a\cdot\eta_1\wedge\ldots\wedge\eta_n</math>

mit einer positiven Zahl <math>a</math> gilt; eine Basis <math>X_1,\ldots,X_n</math> des Tangentialraums in einem Punkt <math>p</math> sei positiv orientiert, wenn

<math>\omega(X_1,\ldots,X_n)>0</math>

gilt.

Zwei Orientierungen heißen äquivalent, wenn sie sich um einen überall positiven Faktor unterscheiden; diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass sie auf jedem Tangential- oder Kotangentialraum dieselbe Orientierung definieren.

Ist <math>U</math> zusammenhängend, so gibt es entweder bis auf Äquivalenz genau zwei oder gar keine Orientierungen.

<math>U</math> heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von <math>U</math> existiert.

Integral von Differentialformen

Es sei wieder <math>n=\dim U</math>, und wir nehmen an, auf <math>U</math> sei eine Orientierung gewählt. Dann gibt es ein kanonisches Integral

<math>\int_U\omega</math>

für <math>n</math>-Formen <math>\omega</math>. Ist <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> eine offene Teilmenge, <math>x_1,\ldots,x_n</math> eine positiv orientierte Basis und

<math>\omega=f(x_1,\dots ,x_n)\,\,\mathrm dx_1\wedge\ldots\wedge\mathrm dx_n,</math>

so ist

<math>\int_U\omega=\int_U f(x_1, \dots , x_n)\,\, \mathrm dx_1 \ldots \mathrm dx_n;</math>

das Integral auf der rechten Seite ist das gewöhnliche Lebesgue-Integral im <math> \mathbb R^n</math>.

Aus dem Transformationssatz folgt, dass diese Definition invariant gegenüber Koordinatenwechsel ist.

Satz von Stokes

Ist <math>M</math> eine kompakte orientierte <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand <math>\partial M</math>, und versieht man <math>\partial M</math> mit der induzierten Orientierung, so gilt für jede <math>(n-1)</math>-Form <math>\omega</math>

<math>\int_M\mathrm d\omega=\int_{\partial M}\omega.</math>

Dieser Satz ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Ist <math>M</math> geschlossen, das heißt gilt <math>\partial M = \emptyset</math>, so folgt für jede exakte <math>n</math>-Form <math>\omega^{\text{exakt}}</math>, d. h. falls <math>\omega \equiv\omega^\text{exakt} =\mathrm{d}\varphi</math>, die Beziehung:

<math>

\int_M\omega^\text{exakt}

=\int_M\mathrm d\varphi
=\int_{\partial M=\emptyset}\varphi
= 0\,.</math>

Zur Verdeutlichung der genannten Eigenschaft von <math>M</math> benutzt man oft die Formulierung mit einem Kreis-Integral:

<math>\oint_M \omega^\text{exakt} =0</math>.

Das Integral liefert eine Abbildung

<math>\mathrm H^n_{\mathrm{dR}}(M)\to\mathbb R.</math>

Ist <math>M</math> zusammenhängend, so ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Man kommt damit zur De-Rham-Kohomologie zurück (s.o.).

Komplexe Differentialformen

In der Theorie der komplexen Differentialformen wird das hier eingeführte Kalkül auf komplexe Mannigfaltigkeiten übertragen. Dies funktioniert größtenteils analog zur Definition der hier beschriebenen Formen. Jedoch werden hier analog zu den komplexen Zahlen die Räume der komplexen Differentialformen in zwei Räume (reeller) Differentialformen

<math>\mathcal{E}^r(M) \cong \Omega^{r,r}(M) = \Omega^r(M) \oplus i\Omega^r(M)</math>

zerlegt. Der Raum <math>\Omega^{p,q}</math> heißt dann der Raum der (p,q)-Formen. Auf diesen Räumen kann man analog zur Äußeren-Ableitung zwei neue Ableitungen definieren. Diese werden Dolbeault- und Dolbeault-Quer-Operator genannt und analog zur De-Rham-Kohomologie kann man mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators wieder eine Kohomologie bilden. Diese heißt Dolbeault-Kohomologie.

Literatur

• Shigeyuki Morita: Geometry of differential forms., American Mathematical Society 2001, ISBN 0821810456.
• Harley Flanders: Differential forms with applications to the physical sciences. Academic Press 1963.
• Harold Edwards: Advanced Calculus- a differential forms approach. Birkhäuser 1994 (zuerst 1969).
• Steven H. Weintraub: Differential Forms- a complement to vector calculus. Academic Press 1997.