|
Lexikon auf Ihrer Homepage |
|
Lexikon als Lesezeichen hinzufügen |
Die diskrete Differentialrechnung ist eine Form der Differentialrechnung, die nicht wie in der Analysis mit kontinuierlichen, sondern mit diskreten Mengen arbeitet und zur Berechnung von Reihen angewandt werden kann.
Inhaltsverzeichnis |
Die bekannte kontinuierliche Differentialrechnung basiert auf dem Differenzialoperator <math>\mathrm{D}</math>, der wie folgt definiert ist:
Die diskrete Differentialrechnung hingegen verwendet einen sogenannten Differenzoperator <math>\Delta</math>:
Die umgekehrte Operation wird nicht wie in der kontinuierlichen Differentialrechnung mit dem unbestimmten Integral, sondern mit einer unbestimmten Summe <math>\sum f(x)</math> erreicht, die sich zum Differenzoperator wie folgt verhält:
<math>\delta</math> verhält sich hier zu <math>\Delta</math> wie <math>\mathrm{d}</math> zu <math>\mathrm{D}</math> in der kontinuierlichen Differentialrechnung. <math>C</math> steht für den Wert einer beliebigen Funktion, die für ganzzahlige <math>x</math> konstant ist (<math>C(x+1) = C(x)</math>).
Das Pendant zu bestimmten Integralen sind bestimmte Summen. Diese entsprechen gewöhnlichen Summen ohne den Wert am höchsten Index:
Eine unter dem Differenzialoperator invariante Funktion ist die Exponentialfunktion der Basis e. In der diskreten Differentialrechnung ist die Exponentialfunktion der Basis 2 invariant, wie sich leicht ermitteln lässt:
& \Delta f(x) = f(x) \\ \Longleftrightarrow \quad & f(x+1) - f(x) = f(x) \\ \Longleftrightarrow \quad & f(x+1) = 2f(x) \\ \Longleftrightarrow \quad & \exists C: f(x) = C\cdot 2^x \\ \end{align}</math>
Eine einfache Rechenregel gibt es für fallende Fakultäten, die für jede Ganzzahl <math>m</math> wie folgt definiert sind:
\begin{cases} \overbrace{x(x-1) \ldots (x-m+1)}^{m \text{ Faktoren}} & \text{, wenn } m \ge 0\\ & \\ \underbrace{\frac{1}{(x+1)(x+2) \ldots (x-m)}}_{|m| \text{ Faktoren}} & \text{, wenn } m < 0 \end{cases}</math>
Dieser Ausdruck verhält sich in der diskreten Differentialrechnung folgendermaßen:
\begin{cases} \left[\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}\right]_a^b & \text{, wenn } m \neq -1 \\ \left[ H_m\right]_a^b & \text{, wenn } m = -1 \end{cases} </math> wobei <math>H_n</math> die <math>n</math>-te harmonische Zahl ist. Die harmonische Reihe ist somit das Gegenstück zum natürlichen Logarithmus. Die Übereinstimmung geht so weit, dass <math>\Delta (x\cdot H_x - x) = H_x</math> ebenfalls gilt.
Fallende Fakultäten und Potenzen können stets mittels Stirling-Zahlen erster bzw. zweiter Art ineinander umgewandelt werden:
Außerdem gilt der binomische Lehrsatz auch für fallende Fakultäten.
Beispiel zur Berechnung der Summe der ersten <math>n</math> Quadratzahlen:
Die Produktregel der kontinuierlichen Differentialrechnung ist in folgender Form gültig:
Diese Regel lässt sich durch Einführung eines Verschiebeoperators <math>\mathrm{E}</math>, definiert als <math>\mathrm{E}f(x) = f(x+1)</math>, kompakter ausdrücken:
Die Umstellung der Terme führt zur Formel der partiellen Summation ähnlich der partiellen Integration:
Beispiel zur Berechnung der Summe <math>\sum_{k=0}^n k2^k</math>:
Hier ist <math>u(x) = x</math> und <math>\Delta v(x) = 2^x</math>, sodass <math>\Delta u(x) = 1</math>, <math>v(x) = 2^x</math> und <math>\mathrm{E} v(x) = 2^{x+1}</math>.
Die Formel zur partiellen Summation ergibt: <math>\sum x2^x\; \delta x = x2^x - \sum 2^{x+1}\; \delta x = x2^x - 2^{x+1} + C</math>.
Dies führt schließlich zur Lösung:
\sum_{k=0}^n k2^k & = \sideset{}{_0^{n+1}} \sum x2^x\; \delta x \\ & = \left[ x2^x - 2^{x+1} \right ]_0^{n+1} \\ & = (n-1)2^{n+1} + 2 \end{align}</math>
