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Neben der Lehre vom Urteil und der in diesen verwendeten Begriffe geht es in der Logik besonders um die Analyse und Konstruktion logischer Schlussfolgerungen, wobei hier formale Aspekte, ohne Bezug auf den semantischen Gehalt der betrachteten Aussagen, im Vordergrund stehen, wie etwa beim sogenannten Modus ponens, der es erlaubt, von der Implikation "aus A folgt B" und dem Bestehen der Aussage "A" auf die Richtigkeit von "B" zu schließen. Derartige Schlussweisen, deren Rechtfertigung und Tragweite, sind Untersuchungsgegenstand der formalen Logik. Diese hat ihre Ursprünge in der Antike und fand durch Aristoteles einen bis in die Neuzeit hinein gültigen Stand. Sie entwickelte sich dann durch weiter fortschreitende Präzisierungen und Formalisierungen, die durch Georg Cantors aufkommende Mengenlehre initiiert und notwendig wurden, zur mathematischen Logik, die neben ihrer philosophischen Relevanz auch innermathematische Anwendungen gestattet.
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„Formale Logik“ bezeichnet eine Notation von Schlüssen mittels einer formalen Sprache, die oftmals spezielle Symbole einführt. Dabei wird üblicherweise genau angegeben, wie wohlgeformte Ausdrücke dieser Sprache gebildet werden (Syntax). Bereits die aristotelische Syllogistik ist ein Versuch einer solchen Formalisierung, der als Spezialfall des Schließens in der Prädikatenlogik gesehen werden kann, die wiederum die Aussagenlogik enthält.
Ein Gegenbegriff zur formalisierten Logik ist die informale oder informelle Logik, die nicht formalsprachlich aufbereitete, sondern tatsächlich in natürlicher Sprache geäußerte Argumente in deren faktischem Kontext untersucht. Auch diese Disziplin kann auf Aristoteles zurückgeführt werden, namentlich auf die Darlegung in der Topik und den Sophistischen Widerlegungen.
Immanuel Kant hat den Ausdruck „Formale Logik“ für ein regelgeleitetes Schließen verwendet, das „von allem Inhalt der Verstandeserkenntnis und der Verschiedenheit ihrer Gegenstände“ abstrahiert, also „mit nichts anderem als der bloßen Form des Denkens zu tun“ hat[1]. Davon unterschied er ein Projekt, das er „transzendentale Logik“ nannte und das auch den Inhalt von Aussagen behandelt.
Im Unterschied zu früheren Redeweisen meinen Fachwissenschaftler heute mit dem Wort „Logik“ - wenn keine weitere Qualifikation beigegeben ist - normalerweise eine nicht-materiale bzw. nicht-transzendentale Logik.
Gottlob Frege entwickelte die formale Logik in seiner Begriffsschrift (1879) bis hin zu einer ersten vollständigen Axiomatisierung der Prädikatenlogik, die als Vorbild nachfolgender Axiomatisierungen durch Bertrand Russell (Principia Mathematica) oder David Hilbert (Hilbertprogramm) diente. Alfred Tarski gelang in den 1930ern eine vollständige Abstraktion der nach syntaktischen Regeln erstellten Formeln von ihrer Semantik, indem er durch den Modellbegriff die Interpretationen der Formeln präzisierte und diese deutlich von den Formeln selbst unterschied (siehe Prädikatenlogik erster Stufe). Hier findet sich auch eine konsequente Trennung von Objektsprache und Metasprache. Diese und die darauf aufbauenden Arbeiten Kurt Gödels, die letztlich zum Scheitern des Hilbertprogramms führten, stellen die Grundpfeiler der modernen mathematischen Logik dar.
