Dies ist eine Formelsammlung zu dem mathematischen Teilgebiet Analytische Geometrie.

Vorbemerkungen zur Schreibweise

Im Folgenden werden durchnummerierte kartesische Koordinaten <math>x_1</math> (gleichwertig zu <math>x</math>), <math>x_2</math> (gleichwertig zu <math>y</math>), <math>x_3</math> (gleichwertig zu <math>z</math>) verwendet. Vektoren werden in Pfeilschreibweise notiert. Ortsvektoren werden mit demselben Großbuchstaben bezeichnet wie die entsprechenden Punkte. Das Skalarprodukt wird durch <math>\cdot</math> ausgedrückt, das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) durch <math>\times</math>.

Analytische Geometrie der euklidischen Ebene

Bezeichnungen

Im Folgenden habe der Punkt <math>P</math> die Koordinaten <math>(p_1,p_2)</math>; die Punkte <math>A,B,C</math> in dieser Reihenfolge <math>(a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2)</math>

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung eines Punktes

<math>P(p_1|p_2)</math> oder <math>P(p_1, p_2)</math>

Ortsvektor des Punktes <math>P(p_1|p_2)</math>:

<math>\overrightarrow{P} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\end{pmatrix}</math>

Verbindungsvektor zweier Punkte <math>A,B</math>:

<math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}

= \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}</math>

Mittelpunkt der Strecke <math>AB</math> (als Ortsvektor):

<math>\overrightarrow{M} = \tfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)

= \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}</math>

Teilungspunkt : Der Punktes, der die Strecke <math>AB</math> im Verhältnis <math>\lambda</math> teilt:

<math>\overrightarrow{T} = \frac{1}{1+\lambda} \left( \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{B} \right) = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix}a_1+\lambda b_1\\a_2+\lambda b_2\end{pmatrix}</math>

Schwerpunkt eines Dreiecks <math>ABC</math>:

<math>\overrightarrow{S} = \tfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \right)

= \tfrac{1}{3} \begin{pmatrix}a_1+b_1+c_1\\a_2+b_2+c_2\end{pmatrix}</math>

Geraden

Parametergleichung der Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt <math>A(a_1|a_2)</math> mit dem Richtungsvektor <math>\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</math>:

<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u}

= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}</math>

Der Parameter <math>\lambda</math> kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Parametergleichung der Geraden (Zwei-Punkte-Form) durch die Punkte <math>A,B</math>:

<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right)

= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\end{pmatrix}</math>

Der Parameter <math>\lambda</math> kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Normalengleichung der Geraden durch den Punkt <math>A</math> mit dem Normalenvektor <math>\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\end{pmatrix}</math> in vektorieller Schreibweise:

<math>\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0</math> bzw. <math>\begin{pmatrix}n_1\\n_2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\end{pmatrix} = 0</math>

Koordinatengleichung, explizite Form der Geraden mit der Steigung <math>m</math> durch den Punkt <math>(0|t)</math> der <math>x_2</math>-Achse:

<math>\, x_2 = m x_1 + t</math>

Einschränkung: Die Gerade darf nicht parallel zur <math>x_2</math>-Achse sein.

Koordinatengleichung, Achsenabschnittsform der Geraden durch die Punkte <math>(s|0)</math> (auf der <math>x_1</math>-Achse) und <math>(0|t)</math> (auf der <math>x_2</math>-Achse):

<math>\frac{x_1}{s} + \frac{x_2}{t} = 1</math>

Einschränkung: Die gegebenen Punkte dürfen nicht mit dem Ursprung übereinstimmen, d.h. es muss <math>s \ne 0</math> und <math>t \ne 0</math> gelten.

Abstände

Abstand der Punkte <math>A,B</math>:

<math>\overline{AB} = \left| \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right|

= \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}</math>

Abstand des Punktes <math>P</math> von der Geraden <math>g</math> mit der Normalengleichung <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_0 = 0</math> (siehe Hessesche Normalform):

<math>d(P,g) = \frac{\left|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_0\right|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2}}</math>

Abstand zweier paralleler Geraden <math>g</math> und <math>g'</math> mit den Normalengleichungen <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_0 = 0</math> bzw. <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_0' = 0</math>:

<math>d(g,g') = \frac{\left| n_0 - n_0' \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2}}</math>

Winkel

Schnittwinkel (kleinster Winkel) <math>\epsilon</math> zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren <math>\overrightarrow{u}</math> und <math>\overrightarrow{v}</math> (vergleiche Skalarprodukt):

<math>\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right| \left| \overrightarrow{v} \right|}

= \frac{\left| u_1 v_1 + u_2 v_2 \right|}{\sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2} \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2}}</math>

Flächen

Fläche des Dreiecks <math>ABC</math> (siehe Kreuzprodukt):

<math>\begin{align}

F_{ABC} & = \tfrac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \tfrac{1}{2} \left| \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right) \times \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \right) \right| \\ & = \tfrac{1}{2} \left| (a_1 b_2 - a_2 b_1) + (b_1 c_2 - b_2 c_1) + (c_1 a_2 - c_2 a_1) \right| \end{align}</math>

Fläche des nicht überschlagenen Polygons mit den Ecken <math>P_1(p_{11}|p_{12}), \ldots, P_n(p_{n1}|p_{n2})</math>:

<math>\begin{align}A = \Big| \tfrac{1}{2} \cdot & \left( p_{11} p_{22} + p_{21} p_{32} + \ldots + p_{n-1,1} p_{n2} + p_{n1} p_{12} \right.\\

& - \left. p_{21} p_{12} - p_{31} p_{22} - \ldots - p_{n1} p_{n-1,2} - p_{11} p_{n2} \right)\Big| \end{align}</math>

Kreise

Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten:

• des Einheitskreises

<math>{x_1}^2 + {x_2}^2 = 1</math>

• allgemein: Mittelpunkt in <math>(c,d)</math>, Radius <math>r</math>

<math>(x-c)^2+(y-d)^2=r^2\,</math>

in Parameterform (allgemein):

<math>\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\,\cos t+c\\ r\,\sin t+d \end{pmatrix}</math> mit <math>0 \le t \le 2 \pi</math>

Gleichung des Kreises durch drei Punkte <math>P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),P_3(x_3,y_3)</math>

<math>\begin{vmatrix}x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^3 & x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}=0</math>

Gleichung der Kreistangente im Punkt <math>B(b_1|b_2)</math>

• Einheitskreis

  <math>\, b_1 x_1 + b_2 x_2 = 1</math>

• Allgemein:

  <math>(x-c)(b_1-c)+(y-d)(b_2-d)=r^2\, </math>

Schnittpunkt der Geraden <math>y=mx+c</math> mit dem Kreis <math>x^2+y^2=r^2</math>:

<math>x_{1,2}=-\frac{bm}{1+m^2}\pm\frac1{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-b^2}</math>

<math>y_{1,2}=\frac{bm}{1+m^2}\pm\frac{m}{1+m^2}\sqrt{r^2(1+m^2)-b^2}</math>

Kegelschnitte

Analytische Geometrie des dreidimensionalen euklidischen Raumes

Bezeichnungen

Im Folgenden haben die Punkte <math>X,P,A,B,C</math> in dieser Reihenfolge die Koordinaten <math>(x_1,x_2,x_3),(p_1,p_2,p_3),(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_2),(c_1,c_2,c_3)</math>.

Punkte

Punkte werden durch kartesische Koordinaten oder durch Ortsvektoren beschrieben.

Koordinatendarstellung

<math>P(p_1 | p_2 | p_3)</math>

Ortsvektor

<math>\overrightarrow{P} = \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}</math>

Verbindungsvektor zweier Punkte <math>AB</math>:

<math>\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}

= \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}</math>

Mittelpunkt der Strecke <math>AB</math>:

<math>\overrightarrow{M} = \tfrac{1}{2} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} \right)

= \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{pmatrix}</math>

Teilungspunkt , der die Strecke <math>AB</math> im Verhältnis <math>\lambda</math> teilt:

<math>\overrightarrow{T} = \frac{1}{1+\lambda} \left( \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{B} \right) = \frac{1}{1+\lambda} \begin{pmatrix}a_1+\lambda b_1\\a_2+\lambda b_2\\a_3+\lambda b_3\end{pmatrix}</math>

Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken <math>A,B,C</math>:

<math>\overrightarrow{S} = \tfrac{1}{3} \left( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} \right)

= \tfrac{1}{3} \begin{pmatrix}a_1+b_1+c_1\\a_2+b_2+c_2\\a_3+b_3+c_3\end{pmatrix}</math>

Geraden

Parametergleichung einer Geraden (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt <math>A</math> mit dem Richtungsvektor <math>\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}</math>:

<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u}

= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}</math>

Der Parameter <math>\lambda</math> kann alle reellen Zahlen als Wert annehmen.

Ebenen

Parametergleichung der Ebene (Punkt-Richtungs-Form) durch den Punkt <math>A</math> mit den Richtungsvektoren <math>\overrightarrow{u}</math> und <math>\overrightarrow{v}</math>:

<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}

= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}</math>

Die Parameter <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> können alle reellen Zahlen als Wert annehmen und die Vektoren <math>\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}</math> müssen linear unabhängig sein (d.h. <math>\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \neq 0</math> und <math>\overrightarrow{u}</math> ist kein skalares Vielfaches von <math>\overrightarrow{v}</math>)

Parametergleichung einer Ebene (Drei-Punkte-Form) durch die Punkte <math>A,B,C</math>:

<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right) + \mu \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \right)

= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}c_1-a_1\\c_2-a_2\\c_3-a_3\end{pmatrix}</math>

Die beiden Parameter <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> können alle reellen Zahlen als Werte annehmen und die gegebenen Punkte <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> dürfen nicht auf einer Geraden liegen.

Normalengleichung der Ebene durch den Punkt <math>A</math> mit dem Normalenvektor <math>\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \neq 0</math> in vektorieller Schreibweise:

<math>\overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{X} - \overrightarrow{A} \right) = 0</math> bzw. <math>\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1-a_1\\x_2-a_2\\x_3-a_3\end{pmatrix} = 0</math>

Koordinatengleichung

<math>\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = ax_1 + bx_2 + cx_3 = d</math> mit <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> nicht alle gleich 0.

Überführen der Formen ineinander

• Parameterform in Normalenform:

  <math> \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} </math>

• Normalenform und Koordinatengleichung:

  Die Normalenform ist dasselbe wie die Koordinatengleichung, nur ein wenig anders aufgeschrieben. Explizit: <math>a = n_1</math>, <math>b = n_2</math>, <math>c = n_3</math> und <math>d = n_1a_1 + n_2a_2 + n_3a_3</math>.

• Von der Parameterform zur Koordinatengleichung:

  <math> \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda\overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}</math> definiert drei Gleichungen; man löse eine davon nach <math>\lambda</math> und eine andere nach <math>\mu</math> auf und setze dies in die verbleibende Gleichung ein.

• Von der Koordinatengleichung zur Parameterform:

  Entweder findet man durch Ausprobieren drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene und setzt diese in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein. Alternativ funktioniert auch folgender algorithmischer Ansatz: Da <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> nicht alle gleich 0 sind (sagen wir <math> c \neq 0 </math>) lässt sich die Koordinatengleichung nach einer Koordinate auflösen und diese Koordinate ist also eine Funktion der beiden anderen: <math> x_3(x_1,x_2) = \tfrac{1}{c}\left(d - ax_1 - bx_2\right)</math>. Man findet nun drei nicht-kollineare Punkte in der Ebene, indem man nacheinander <math>(x_1,x_2) = (0,0)</math>, <math>(x_1,x_2) = (1,0)</math> und <math>(x_1,x_2) = (0,1)</math> einsetzt. D.h. explizit setzt man

  <math>\overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x_3(0,0) \end{pmatrix}</math>, <math>\overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ x_3(1,0) \end{pmatrix}</math> und <math>\overrightarrow{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ x_3(0,1) \end{pmatrix}</math>

  in die Drei-Punkte-Form der Parametergleichung ein.

Abstände

Abstand der Punkte <math>A,B</math>

<math>\left\vert\overrightarrow{AB}\right\vert = \left| \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \right|

= \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}</math>

Abstand des Punktes <math>P</math> von der Ebene <math>\epsilon</math> mit der Normalengleichung <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0 = 0</math> (siehe Hessesche Normalform):

<math>d(P,\epsilon) = \frac{\left|n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3 + n_0\right|}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}</math>

Abstand der parallelen Ebenen <math>\epsilon</math> und <math>\epsilon'</math> mit den Normalengleichungen <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0 = 0</math> bzw. <math>n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 + n_0' = 0</math>:

<math>d(\epsilon,\epsilon') = \frac{\left| n_0 - n_0' \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2}}</math>

Winkel

Schnittwinkel (kleinster Winkel) <math>\epsilon</math> zwischen zwei Geraden mit den Richtungsvektoren <math>\overrightarrow{u}</math> und <math>\overrightarrow{v} </math>:

<math>\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right| \left| \overrightarrow{v} \right|}

= \frac{\left| u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \right|}{\sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2} \sqrt{{v_1}^2 + {v_2}^2 + {v_3}^2}}</math>

Schnittwinkel <math>\epsilon</math> zwischen einer Ebene mit dem Normalenvektor <math>\overrightarrow{n} </math> und einer Geraden mit dem Richtungsvektor <math>\overrightarrow{u} </math>:

<math>\sin \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \left| \overrightarrow{u} \right|}

= \frac{\left| n_1 u_1 + n_2 u_2 + n_3 u_3 \right|}{\sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2} \sqrt{{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2}}</math>

Schnittwinkel <math>\epsilon</math> zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren <math>\overrightarrow{m} </math> und <math>\overrightarrow{n} </math>:

<math>\cos \epsilon = \frac{\left| \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{m} \right| \left| \overrightarrow{n} \right|}

= \frac{\left| m_1 n_1 + m_2 n_2 + m_3 n_3 \right|}{\sqrt{{m_1}^2 + {m_2}^2 + {m_3}^2} \sqrt{{n_1}^2 + {n_2}^2 + {n_3}^2}}</math>

Volumina

Volumen des Tetraeders <math>P_0P_1P_2P_3</math> (vergleiche Spatprodukt): (<math>\vec a := \overrightarrow{P_0P_1}\ , \ \vec b := \overrightarrow{P_0P_2} \ , \ \vec c := \overrightarrow{P_0P_3}</math>)

<math> V= \Big| \frac{1}{6} [ \vec a, \vec b, \vec c ]\Big| = \Big| \frac{1}{6}

\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}\Big|</math>

Kugel

Kartesische Koordinaten

• Einheitskugel:

  <math>{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 1</math>

• Allgemein: (Mittelpunkt: <math>(a,b,c)</math>)

  <math>(x_1-a)^2+(x_2-b)^2+(x_3-c)^2=r^2</math>

Parameterform (im Ursprung)

<math>\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\,\sin\vartheta \cos\varphi\\ r\,\sin\vartheta \sin\varphi\\ r \cos\vartheta \end{pmatrix}</math> mit <math>0 \le \vartheta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi \le 2\pi</math>

Flächen zweiter Ordnung

Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c; Mittelpunkt im Ursprung; Halbachsen parallel zur <math>x_1</math>, <math>x_2</math> bzw. <math>x_3</math>-Achse:

<math>\frac{{x_1}^2}{a^2} + \frac{{x_2}^2}{b^2} + \frac{{x_3}^2}{c^2} = 1</math>

Hyperboloid Halbachsen a,b,c

<math>\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=1</math>

Paraboloid mit Scheitel im Ursprung:

<math>\frac{x_1^2}{a^2}\pm\frac{x_2^2}{b^2}-2z=0</math>

Plus liefert ein elliptisches, minus ein hyperbolisches Paraboloid.

Kegel mit a,b Halbachsen der Ellipse, Spitze im Ursprung:

<math>\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}-\frac{x_3^2}{c^2}=0</math>