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| <math>\sqrt[n]{x}</math> | Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden. |
Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.
Inhaltsverzeichnis |
In den allermeisten Fällen gilt:
Im Folgenden werden Winkel im Gradmaß angegeben.
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Verhältnisteilung: Um eine Strecke <math>AB</math> in einem bestimmten Verhältnis (in <math>n</math> gleiche Teile) zu teilen, zeichnet man zunächst einen beliebigen Strahl von <math>A</math> aus, der nicht parallel zu <math>AB</math> ist. Auf diesem trage man <math>n</math> mal eine beliebig lange Strecke ab. Den erhaltenen Endpunkt <math>C</math> verbinde man mit <math>B</math> und zeichne die Parallelen zu <math>BC</math> durch die bei der Unterteilung von <math>AC</math> entstandenen Punkte. Deren Schnittpunkte mit <math>AB</math> teilen <math>AB</math> in <math>n</math> gleiche Teile.
Die Standardbezeichnung für Dreiecke:
| Figur | Flächeninhalt A | Umfang U | Bemerkung, Weiteres |
|---|---|---|---|
| Dreieck | |||
| Allgemeines Dreieck | <math>\frac12 gh\qquad\frac12 bc\sin(\alpha)</math> <math>\frac{abc}{4R}\qquad k\cdot r</math> <math>\sqrt{k(k-a)(k-b)(k-c)}</math> |
<math>a+b+c</math> | Letztere Flächenformel wird als Satz des Heron bezeichnet. k ist der halbe Umfang, <math>R</math> der Umkreisradius und <math>r</math> der Inkreisradius. |
| Gleichseitiges Dreieck | <math>\frac14a^2\sqrt{3}</math> | <math>3\cdot a</math> | Alle Seiten sind gleich lang. Alle Winkel sind gleich groß (60°). Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende= Mittennormale |
| Gleichschenkliges Dreieck | <math>\frac{1}{2}c\sqrt{a^2-\frac14c^2}</math> | <math>2a+c</math> | Zwei Seiten sind gleich lang (Schenkel <math>a</math> und <math>b</math>); die dritte Seite heißt Basis <math>c</math> Die beiden Basiswinkel (<math>\alpha</math> und <math>\beta</math>) sind gleich groß. Die Höhenlinie durch <math>C</math> halbiert den Winkel <math>\gamma</math> und die Basis <math>c</math>. |
| Rechtwinkliges Dreieck | <math>\frac{1}{2} ab</math> | <math>a + b + c</math> | <math>\gamma=\alpha+\beta = 90^\circ</math>. Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber dem 90°-Winkel. Katheten = Seiten, die den rechten Winkel bilden. Es gilt die Satzgruppe des Pythagoras (s.u.) |
| Viereck | |||
| Quadrat | <math>a^2</math> | <math>4\cdot a</math> | Diagonale <math>d=a\cdot\sqrt{2}</math> |
| Rechteck | <math>a\cdot b</math> | <math>2\cdot (a+b)</math> | Diagonale <math>d=\sqrt{a^2+b^2}</math> |
| Raute | <math>\frac{1}{2}ef=a^2\cdot\sin(\beta)</math> | <math>4\cdot a</math> | |
| Parallelogramm | <math>a\cdot h_a</math> | <math>2\cdot (a+b)</math> | <math>h_a</math> ist die Höhe zur Seite a. |
| Trapez | <math>m\cdot h=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h</math> | <math>a+b+c+d</math> | <math>m=\tfrac{1}{2}(a+c)</math> = Mittellinie |
| symmetrischer Drachen | <math>\frac{1}{2} ef</math> | <math>2\cdot (a+b)</math> | |
| Sehnenviereck | <math>\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math> <math>=\frac{e\cdot (ab+cd)}{4R}=\frac{f\cdot(ad+bc)}{4R}</math> |
<math>a+b+c+d</math> | Viereck mit Umkreis, <math>R</math> Umkreisradius <math>=\frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>, <math>s</math> halber Umfang; <math>e,f</math> Diagonalen: <math>e =\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}</math>, <math>f=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} </math> |
| Tangentenviereck | <math>r\cdot (a+c)=r\cdot (b+d)</math> | <math>a+b+c+d</math> | Viereck mit Inkreis mit Inkreisradius <math>r</math>. Es gilt <math>a+c=b+d</math> |
| Polygone | |||
| regelmäßige Vielecke | <math>\frac{n \cdot r_\mathrm{u}^2 \cdot \sin \frac{360^\circ}{n}}{2}</math> <math>= n \cdot r_\mathrm{i}^2 \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}</math> <math>= \frac{n \cdot l_\mathrm{k}^2 \cdot \cot \frac{180^\circ}{n}}{4}</math> |
<math>2\cdot n\cdot r_\mathrm{u} \cdot \sin \frac{180^\circ}{n}</math> <math>=2\cdot n\cdot r_\mathrm{i} \cdot \tan \frac{180^\circ}{n}</math> <math>= n \cdot l_\mathrm{k}</math> |
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| Kreis | |||
Kreis
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<math>\pi \cdot r^2 = {1\over4} \cdot \pi \cdot d^2 </math> | <math>2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d</math> | Es bezeichnet <math>\pi=3{,}14159\ldots</math> die Kreiszahl. |
| Kreisring | <math>\pi\cdot(R^2-r^2)</math> | <math>R</math> = Außenradius, <math>r</math> = Innenradius | |
Kreisausschnitt
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<math>\pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ}</math> <math>= \frac{1}{2} \cdot b \cdot r </math> |
<math>\pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}+2r</math> | Länge des Kreisbogens <math>b</math>: <math>\pi \cdot r \cdot { \alpha \over 180^\circ}</math> |
Kreisabschnitt (Segment)
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<math>\frac{r^2}{2} \cdot \left( \frac{\pi \cdot \alpha}{\displaystyle 180^\circ} - \sin \alpha \right)</math> | ||
| Kegelschnitte | |||
| Ellipse | <math>\pi a b</math> <math>=\frac14\pi\cdot D\cdot d</math> |
<math>4a\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\sin t)^2}} \ \mathrm dt=4a \; E(\varepsilon)</math> | Menge der Punkte, für die die Summe der beiden Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) konstant (<math>2a</math>) ist. Der Umfang lässt sich nicht mit elementaren Funktionen angeben (→ Elliptisches Integral). D,d großer und kleiner Durchmesser. Kartesische Koordinaten: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> |
| Hyperbel | Keine geschlossene Fläche | Keine geschlossene Kurve | Menge aller Punkte, für die die absolute Differenz der Abstände zu den Brennpunkten konstant 2a ist. Kartesische Koordinaten: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math> |
| Parabel | Keine geschlossene Fläche | Keine geschlossene Kurve | Menge aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt (dem Brennpunkt) und einer speziellen Geraden (der Leitgeraden l) konstant ist. Kartesische Koordinaten: <math>y^2=2px\, </math>. |
Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist stets größer als die dritte Seite.
Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn
| Körper | Volumen V | Oberfläche O | Bemerkungen, Weiteres |
|---|---|---|---|
| Prismen | |||
Parallelepiped (Spat)
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<math>G\cdot h</math> | <math>2\cdot(ah_a+bh_b+ch_c)</math> | |
Quader
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<math>a\cdot b\cdot c</math> | <math>2\cdot(ab+ac+bc)</math> | Raumdiagonalenlänge <math>=\sqrt{a^2+b^2+c^2}</math> |
| Allgemeines Prisma |
<math>A_G\cdot h</math> | <math>2A_G+A_M\, </math> | <math>A_M</math> Mantelfläche |
| Säulen | |||
| Rundsäule (Zylinder) | <math>\pi\cdot r^2\cdot h</math> | <math>2\pi r\cdot (r+h)</math> | |
| Hohlzylinder | <math>\pi R^2h-\pi r^2h=\,</math> <math>\pi h(R+r)(R-r)\, </math> |
<math>2\pi((R+r)h+R^2-r^2)\, </math> | <math>R,r</math> Außen-,Innenradius <math>M_\text{aussen}=2\pi Rh</math> <math>M_\text{innen}=2\pi rh</math> |
| Pyramide | |||
| Allgemeine Pyramide |
<math>\frac{1}{3}A_Gh</math> | <math>A_G+A_M\, </math> | |
| Pyramidenstumpf | <math>\frac13h \left (A_G+\sqrt{A_GA_D}+A_D \right)</math> | <math>A_G+A_D+A_M\, </math> | <math>A_G</math> Grundfläche <math>A_D</math> Deckfläche |
| Kegel | |||
| Kreiskegel | <math>\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h</math> | nur für senkrechte Kegel: <math>r \cdot \pi \cdot (r + s)</math> |
Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe: <math>s^2 = r^2 + h^2 \,</math> |
| gerader Kegelstumpf | <math>\frac13\pi h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)</math> | <math>A_G+A_D+A_M\, </math> <math>=\pi r_2^2+\pi r_1^2+\pi s(r_1+r_2)</math> |
<math>s = \mathrm{Mantellinie} =\sqrt{(r_2-r_1)^2+h^2}</math> <math>r_1,r_2</math> Radien |
| Platonische Körper | |||
| Tetraeder | <math>\frac1{12}a^3\sqrt{2}</math> | <math>a^2\sqrt{3}</math> | |
| Hexaeder (Würfel) | <math>a^3\, </math> | <math>6\cdot a^2</math> | Raumdiagonalenlänge <math>=a\sqrt{3}</math> |
| Oktaeder | <math>\frac13a^3\sqrt2</math> | <math>2a^2\sqrt{3}</math> | |
| Dodekaeder | <math>\frac14a^3(15+7\sqrt{5})</math> | <math>3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}</math> | |
| Ikosaeder | <math>\frac5{12}a^3(3+\sqrt{5})</math> | <math>5a^2\sqrt{3}</math> | |
| Kugel und Kugelteile | |||
| Kugel | <math>{4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3 = {1 \over 6}\cdot \pi \cdot d^3</math> | <math>4 \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2</math> | |
| Kugelkalotte (Kugelmütze, Kugelkappe) | <math>2 \cdot r \cdot \pi \cdot h </math> | ||
| Kugelsegment (Kugelabschnitt) | <math>{h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)</math> | <math>2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi</math> | mit <math>\rho^2 = h \cdot (2r -h) </math> |
| Kugelzone (Kugelschicht) |
<math>\frac16\pi \cdot h (3 \cdot a^2 + 3 \cdot b^2 + h^2)</math> | <math>\pi \cdot (2\cdot r \cdot h + a^2 + b^2) </math> | mit <math>2 \cdot a</math> = Durchmesser des unteren Schnittkreises und <math>2 \cdot b</math> = Durchmesser des oberen Schnittkreises |
| Drehkörper | |||
| Ellipsoid | <math>\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,</math> | Halbachsen a,b,c | |
| Torus | <math>2\pi^2\cdot R\cdot r^2</math> | <math>4\pi^2\cdot R\cdot r</math> | |
siehe auch: Eulerscher Polyedersatz, Prinzip von Cavalieri
