Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im <math>\mathbb{R}^n</math> auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen stimmt sie mit der üblichen totalen Ableitung überein und kann durch die Jacobi-Matrix, deren Einträge die partiellen Ableitungen sind, dargestellt werden.

Definition

Beziehung der drei Abbildungen

Es seien <math>(X,\|{\cdot}\|_X)</math> und <math>(Y,\|{\cdot}\|_Y)</math> zwei normierte Räume und <math>U\subset X</math> eine offene Teilmenge. Ein Operator <math>A \colon U\to Y</math> heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle <math>\varphi\in U</math>, wenn es einen beschränkten linearen Operator <math>A'(\varphi) \colon X\to Y</math> derart gibt, dass

<math>\lim_{\|h\|_X\to 0} \frac{1}{\|h\|_X}\, \|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|_Y=0</math>

gilt. Der Operator <math>A'(\varphi)</math> heißt Fréchet-Ableitung von <math>A</math> an der Stelle <math>\varphi</math>. Existiert die Fréchet-Ableitung für alle <math>\varphi\in U</math>, dann heißt die Abbildung <math>A'\colon U\to L(X,Y)</math> mit <math>\varphi\mapsto A'(\varphi)</math> die Fréchet-Ableitung von <math>A</math> auf <math>U</math>. Mit <math>L(X,Y)</math> wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von <math>X</math> nach <math>Y</math> bezeichnet.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem <math>\epsilon>0</math> gibt es ein <math>\delta>0</math> so, dass

<math>\|A(\varphi+h)-A(\varphi)-A'(\varphi)h\|\le \epsilon \|h\|</math>

für alle <math>h\in X</math> mit <math>\|h\|\le \delta</math>. Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

<math>A(\varphi+h)-A(\varphi) = A'(\varphi)h + o(\|h\|)</math> für <math>h\to 0</math>.

Beispiele

Lineare Operatoren

Für endlichdimensionale normierte Räume <math>X,Y</math> sind alle linearen Operatoren <math>A \colon X\to Y</math> Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst: <math>A'=A</math>.

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige Funktionen

Ist <math>f \colon U\to \mathbb{R}</math> eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge <math>U\subset\mathbb{R}^n</math> definiert ist, und besitzt <math>f</math> stetige partielle Ableitungen, dann ist <math>f</math> auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle <math>x</math> wird durch den üblichen Gradienten von <math>f</math> gegeben gemäß:

<math>f'(x) \colon h\mapsto \mbox{grad} f(x)\cdot h=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\, h_i</math>

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im <math>\mathbb{R}^n</math>. Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

Integraloperator

Sei <math>J = [a,b] \subset \R</math>, <math>K \colon J \times J \to \R</math> stetig und <math>f \colon J \times \R \to \R</math> stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator <math>F \colon C(J) \to C(J)</math> definiert durch

<math>(Fx)(t) = \int_a^b k(t,s) f(s,x(s)) \mathrm{d} s</math>

ist frèchet-differenzierbar. Seine Ableitung <math>F^\prime</math> lautet

<math>(F^\prime(x) h)(t) = \int_a^b k(t,s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s))\, h(s) \mathrm{d} s.</math>

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

<math>f(s,x(s) + h(s)) - f(s,x(s)) = \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s)h(s)) \, h(s)</math>

mit <math>0 < \rho(s) < 1</math> und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math> auf <math>J \times \{z \in \R: |z| \leq \sup |x| + 1\}</math> gilt

<math>\sup_{s \in J} \left|\frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s) + \rho(s) h(s)) - \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) \right| \leq \epsilon</math>

für <math>\sup|h| \leq \delta</math>. Für <math>\sup|h| \leq \delta</math> gilt also

<math>\sup \left| F(x+h) - F(x) - \int_a^b k( \cdot , s) \frac{\partial f}{\partial x}(s,x(s)) h(s) \mathrm{d} s \right| \leq \epsilon \, \sup|h| \, \max_{(t,s) \in J \times J} |k(t,s)|,</math>

was die Darstellung der Ableitung beweist.

Rechenregeln

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im <math>\mathbb{R}^n</math> auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

• <math>(A+B)'(\varphi)=A'(\varphi)+B'(\varphi)</math>
• <math>(\lambda A)'(\varphi)=\lambda A'(\varphi)</math>.
• Kettenregel: <math>(A\circ B)'(\varphi)=(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)</math>. Das Produkt <math>(A'\circ B)(\varphi)\, B'(\varphi)</math> ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
• Ist <math>A</math> ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt <math>A'(\varphi)=A</math>. Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf: <math>(A\circ B)'(\varphi)=A\, B'(\varphi)</math> und <math>(B\circ A)'(\varphi)=B'(A(\varphi))\,A</math>.
• Produktregel: Ist <math>A: X_1\times\ldots\times X_n\to Y</math> eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist <math>A'(\varphi_1,\ldots,\varphi_n):(h_1,\ldots,h_n)\mapsto A(h_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n)+\ldots+A(\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-1},h_n)</math>

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-Ableitung

Sei <math>A</math> an der Stelle <math>\varphi</math> Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung <math>h \in X</math> das Gâteaux-Differential <math>\delta A(\varphi,h)</math> und es gilt:

<math>\delta A(\varphi,h) = A'(\varphi) h</math>.

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von <math>A</math> an der Stelle <math>\varphi</math>, die im Folgenden mit <math>A'_s(\varphi)</math> bezeichnet wird, und es gilt:

<math>A'_s(\varphi) = A'(\varphi)</math>.

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht.

Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Sei <math>U_\epsilon(\varphi) = \{ x \in X \; | \; \|x- \varphi\| < \epsilon \}</math> mit <math> U_\epsilon(\varphi) \subset U \subset X, \epsilon > 0 </math> eine offene Kugel um den Punkt <math>\varphi</math>. Wenn <math>A: U \to Y</math> in jedem Punkt <math>\varphi \in U_\epsilon(\varphi)</math> Gâteaux-differenzierbar ist und die Abbildung

<math>A'_s(.) : U_\epsilon(\varphi) \to \mathcal{L}(X,Y)</math> gegeben durch <math> \psi \mapsto A'_s(\psi) </math>

im Punkt <math>\varphi</math> stetig ist, dann ist <math>A</math> im Punkt <math>\varphi</math> Fréchet-differenzierbar und es gilt:

<math>A'(\varphi) = A'_s(\varphi)</math>.

Anwendungsbeispiel

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei <math>D\subset\mathbb{R}^2</math> ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf <math>\partial D</math> durch eine Quelle im Punkt <math>z\in\mathbb{R}^2\setminus \bar D</math> gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion <math>u</math> in <math>\mathbb{R}^2\setminus \bar D</math> die Laplace-Gleichung:

<math>\Delta u=0 \quad\mbox{in}\,\, \mathbb{R}^2\setminus \bar D</math>

und die Dirichlet Randbedingung:

<math>u=-\Phi(\cdot,z)\quad\mbox{auf}\,\,\partial D.</math>

Mit <math>\Phi</math> bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt <math>z</math> beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet <math>B\subset \mathbb{R}^2</math> aus, welches <math>D</math> enthält. Auf dem Rand <math>\partial B</math> von <math>B</math> messen wir die Werte der Lösung <math>u</math> des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur <math>u|_{\partial B}</math>. Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand <math>\partial D</math> von <math>D</math> aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator <math>F</math> beschreiben, der den unbekannten Rand <math>\partial D</math> auf die bekannte Spur <math>u|_{\partial B}</math> abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

<math>F(\partial D)=u|_{\partial B}</math>

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete <math>D</math> ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

<math>\displaystyle x(t)=r(t)(\cos(t),\sin(t))</math>

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion <math>r</math>. Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

<math>F(r)+F'(r,q)=u|_{\partial B}</math>

Hierbei bezeichnet <math>\displaystyle F'</math> die Fréchet-Ableitung des Operators <math>\displaystyle F</math> (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für <math>\displaystyle F</math> kann gezeigt werden und <math>\displaystyle F'</math> kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach <math>q</math> aufgelöst, wobei wir mit <math>r+q</math> eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

Literatur

• Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8