Das Gâteaux-Differential, benannt nach René Gâteaux (1889-1914), stellt eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Differentiationsbegriffes dar, indem es die Richtungsableitung auch in unendlichdimensionalen Räumen definiert. Gewöhnlich hat man für eine Funktion <math>f:G \to \mathbb{R},\ G \subset \mathbb{R}^n</math> offene Menge, die an der Stelle <math>x_0 \in G</math> differenzierbar ist, als Definition der partiellen Ableitung

<math>\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0,1},x_{0,2},\ldots,x_{0,i}+h,\ldots,x_{0,n})-f(x_0)}{h},\ \ (i={1,2,...,n})</math>.

Insbesondere ergibt sich für <math>n=1</math> das bekannte Differential

<math>\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math>.

Das Gâteaux-Differential verallgemeinert dieses Konzept nun auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Definitionen

1. Variation; Variationsableitung

Sei nun für das Gâteaux-Differential folgende Situation gegeben: Es sei wie üblich <math>f \colon D(f) \to \mathbb{R}</math> ein in <math> D(f) \subseteq \Omega</math> definiertes Funktional; <math>\Omega</math> sei ein offener linearer normierter Raum (das heißt ein Vektorraum, versehen mit einer Norm <math>\|\cdot\|</math>) oder ein allgemeinerer topologischer Vektorraum mit Voraussetzungen, über die man sich im konkreten Anwendungsfall nähere Gedanken machen muss; ferner sei <math>x_0 \in D(f)</math> und <math>v \in \Omega</math>. Dann ist das Gâteaux-Differential an der Stelle <math>x_0</math> in Richtung <math>v</math>, falls es existiert, definiert durch die folgende Ableitung nach <math>\epsilon</math>:

<math>\delta f(x_0, v) =\lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon } = \left. \frac{\mathrm{d}f(x_0+\epsilon\cdot v)}{\mathrm{d}\epsilon} \right|_{\epsilon=0}</math>

oder auch für <math>x_1 \in D(f)</math> durch

<math>\delta f(x_0,x_1-x_0)

=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot (x_1-x_0))-f(x_0)}{\epsilon}\,.\,</math>

Man beachte dabei <math>x_0 \in D(f)</math>, <math> v \in \Omega</math> und ebenfalls <math> x_1- x_0</math> darin, aber <math>\epsilon \in \mathbb{R}</math>.

Die Gâteaux-Ableitung nach <math>\epsilon</math> ist bezüglich der Größe <math> h:= x_1- x_0</math> ein Funktional, das auch als 1. Variation von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> bezeichnet wird.

Eine andere Möglichkeit ist, anstelle normierter Vektorräume allgemeinere topologische Vektorräume mit entsprechendem Konvergenzbegriff zu benutzen. Vor allem in Physikbüchern werden Funktionale üblicherweise mit dem Buchstaben <math>I</math> bezeichnet, und statt der Größe <math> h:= x_1- x_0</math> schreibt man meist <math> \delta q(x)</math>, mit distributionswertigen Größen. Statt der Ableitung <math>\tfrac{d I(x+\epsilon\cdot h)}{d\epsilon}_{\,|\epsilon=0}</math> führt man in einem Zusatzschritt die sogenannte Variationsableitung ein, die eng mit der Gâteaux-Ableitung zusammenhängt.

Beispiel

Für

<math>f(\epsilon ):=\int\,{\rm d}t\, \mathcal L \left( t,q(t)+\epsilon\cdot\delta q(t), \dot q(t)+\epsilon\cdot\frac{{\rm d} (\delta q(t))}{{\rm d} t}\right)</math>

erhält man nach einer partiellen Integration mit verschwindendem ausintegrierten Teil ein Resultat der Form <math>\textstyle \frac{{\rm d}f}{{\rm d}\epsilon}(\epsilon \to 0)\,=\,\int\,{\rm d}t \,\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\cdot \delta q(t)</math> mit der Variationsableitung

<math>\frac{\delta \mathcal L}{\delta q(t)}\equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial q(t)}-\fracVorlage:\rm d{{\rm d}t}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot q(t)}\,.</math>

(Die Variationsableitung "an der Stelle q(t)" bei kontinuierlichen Variablen ist also die Verallgemeinerung der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}</math> einer Funktion von n Variablen, also zum Beispiel für den fiktiven Fall <math> \mathcal L=\mathcal L(x_1, ..., x_n)</math>. So ähnlich wie im fiktiven Fall das totale Differential einer Funktion von n Variablen, so hat auch hier <math>\delta f</math>, das totale Differential des Funktionals, invariante Bedeutung. Weitere Einzelheiten im Kapitel Lagrange-Formalismus.)

In Folgenden wird wegen der Einfachheit auf die Kennung der Vektoren durch „fett geschriebene“ Buchstaben verzichtet.

2. Variation

<math>\delta^2 f(x_0,v) = \left. \frac{\mathrm{d}^2 f(x_0+\epsilon \cdot v)}{\mathrm{d}\epsilon^2} \right|_{\epsilon=0}</math>

Halbseitiges Differential und Richtungsableitung

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist das einseitige Gâteaux-Differential durch

<math>\delta_+ f(x_0,v)

=\lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }</math> beziehungsweise durch

<math>\delta_- f(x_0,v) =\lim_{\epsilon \to 0^-} \frac{f(x_0+\epsilon\cdot v)-f(x_0)}{\epsilon }</math>

definiert. Das einseitige Gâteaux-Differential wird auch Richtungsdifferential von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> genannt. Für die zum Vektor <math>v</math> gehörende Richtung verallgemeinert nämlich bei „kontinuierlichen Variablen“ das einseitige Gâteaux-Differential (genauer: die zugehörige Variationsableitung) gerade die Richtungsableitung von <math>f</math> in Richtung <math>v</math> an der Stelle <math>x_0</math>.

Gâteaux-Ableitung

Ist <math>\delta f(x_0,v)</math> ein in <math>v</math> stetiges, lineares Funktional (d. h. die Funktion vermittelt durch <math>v \mapsto \delta f(x_0,v)</math> ist homogen, additiv und stetig im Argument <math>v</math>), dann heißt <math>f'(x_0)</math> Gâteaux-Ableitung an der Stelle <math>x_0</math>. und <math>f</math> Gâteaux-differenzierbar in <math>x_0</math>.

Eigenschaften der 1. Variation

• Das Gâteaux-Differential ist homogen, das bedeutet
  <math style="margin-left:2em">\delta f(x_0,k\cdot v)=k\cdot \delta f(x_0,v)</math>
  für alle <math>k \in \mathbb{R}</math>. Die Eigenschaft gilt analog für das einseitige Gâteaux-Differential.

• Das Gâteaux-Differential ist nicht linear. Im Allgemeinen Fall gilt also
  <math style="margin-left:2em">\delta f(x_0,v)+\delta f(x_0,w)\ne \delta f(x_0,v+w).</math>
  Für ein Beispiel, dass das Gâteaux-Differential nicht linear ist, betrachte <math>f(x)=\tfrac{x_1^2 x_2}{x_1^2+x_2^2}</math> für <math> x \ne 0</math> und <math> f(0) = 0</math>, wobei <math>x=(x_1,x_2)</math>, dann ist
  <math style="margin-left:2em">\delta f(0,v)=\lim_{\epsilon\to 0} \frac{f(0+\epsilon\cdot v)-f(0)}{\epsilon } = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{f(\epsilon\cdot v)}{\epsilon } = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon^2 v_1^2 \cdot \epsilon v_2}{(\epsilon^2 v_1^2 + \epsilon^2 v_2^2)\epsilon } = \frac{v_1^2 v_2}{v_1^2 + v_2^2} = f(v)</math>.
  Die Funktion <math>f</math> ist nicht linear. Es gilt zum Beispiel <math> \delta f(0,(0,1)) + \delta f(0,(1,0)) = 0 + 0 \ne \tfrac{1}{2} = \delta f(0,(1,1))</math>.

Beispiele

1. <math>f(x_1,x_2)= 1</math>, falls <math>x_2=x_1^2</math>, <math>x_1\ne 0</math> bzw <math>0</math> sonst <math>\delta f((0,0),v)=\lim_{t\to 0} \frac{0-0}{t}=0</math>.
2. <math>f(x)=|x|,\ x \in \mathbb{R}^n</math> <math>\delta_+ f(0,v)=\lim_{\epsilon \to 0^+}\frac{|0+\epsilon\cdot v|-0}{\epsilon }=|v|</math>
3. <math>f(x_1,x_2)= x_1^2 \left(1+\frac{1}{x_2}\right)</math> für <math>x_2\ne 0</math> und <math>-\frac{x_1^2}{x_2^2}</math> für <math>x_2=0</math>, <math>\nabla f(x_1,x_2)=\left( 2\cdot x_1 \cdot\left(1+\frac{1}{x_2}\right),-\frac{x_1^2}{x_2^2}\right)^T</math>

<math>\delta f((0,0),v)=\lim_{\epsilon\to 0}\frac{(\epsilon\cdot v_1)^2\cdot\left(1+\frac{1}{\epsilon\cdot v_2}\right)}{\epsilon}=\frac{v_1^2}{v_2}</math> (wobei <math>v=(v_1,v_2)^{T}</math>)

Anwendungen

Wie die gewöhnliche Ableitung ist das Gâteaux-Differential zum Bestimmen von Extrema und daher in der Optimierung von Nutzen. Sei <math>f: X \to \mathbb{R},\ X \subset D(f) \subset \Omega</math> offen, <math>\Omega</math> linearer normierter Raum, <math>x_0 \in \operatorname{int}(X)</math> (das Innere der Menge <math>X</math>), <math>\operatorname{int}(X) \ne \emptyset</math> und <math>B_\varepsilon(x_0)</math> der offene Ball um <math>x_0</math> mit Radius <math>\varepsilon</math>. Notwendige Optimalitätsbedingung: Sei <math>x_0</math> ein lokales Minimum von <math>f</math> auf <math>X</math>, dann ist <math>\delta_+ f(x_0,v)\geq 0\ \forall v \in \Omega</math>, falls das einseitige Gâteaux-Differential in <math>x_0</math> existiert. Hinreichende Optimalitätsbedingung: <math>f</math> besitze in <math>B_\varepsilon (x_0)</math> eine 2. Variation <math>\forall v \in \Omega</math> und <math>\forall x \in B_\varepsilon (x_0)</math>. Falls gilt <math>\delta f(x_0,v)=0\ \forall v \in \Omega</math> und für ein <math>c>0</math> <math>\delta^2 f(x_0,v)\geq c\cdot\|v\|^2\ \forall v \in \Omega</math> und <math>\forall x \in B_\varepsilon (x_0)</math>, dann ist <math>x_0</math> strenge lokale Minimalstelle von <math>f</math> auf <math>\operatorname{int}(X)</math>.

Siehe auch

• Fréchet-Ableitung