In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (<math>\mathbb{R}^3</math>), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.
Definition
Gegeben seien eine reguläre Fläche im <math>\mathbb{R}^3</math> und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung <math>K</math> der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math>.
- <math>K \, = \, k_1 \cdot k_2 = \frac{1}{r_1} \cdot \frac{1}{r_2}</math>
Dabei sind <math>r_1</math> und <math>r_2</math> die beiden Hauptkrümmungsradien.
Beispiele
- Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius <math>r</math> ist die gaußsche Krümmung gegeben durch <math>K = 1 /r^2</math>.
- In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
- In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
- Ist <math>X = X(u,v) = (u,v,f(u,v))</math> ein Graph über der <math>(u,v)</math>−Ebene, so berechnet sich die gaußsche Krümmung durch die Formel
- <math>K = \frac{f_{uu} f_{vv} - f_{uv}^2}{{(1+f_u^2+f_v^2)}^{2}}</math>,
wobei die Indizes partielle Ableitungen bezeichnen.
Eigenschaften
- In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv (<math>K > 0</math>), in hyperbolischen Punkten negativ (<math>K < 0</math>) und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.
- Sind <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> bzw. <math>L</math>, <math>M</math>, <math>N</math> die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:
- <math>K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}</math>
- Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der:
- <math>K = \frac{1}{(EG-F^2)^2} \left(
\begin{vmatrix}
-\frac{1}{2}E_{vv} + F_{uv} - \frac{1}{2}G_{uu} & \frac{1}{2}E_u & F_u-\frac{1}{2}E_v\\
F_v-\frac{1}{2}G_u & E & F\\
\frac{1}{2}G_v & F & G
\end{vmatrix}
- \begin{vmatrix}
0 & \frac{1}{2}E_v & \frac{1}{2}G_u\\
\frac{1}{2}E_v & E & F\\
\frac{1}{2}G_u & F & G
\end{vmatrix}
\right)</math>
- Dabei sind <math>E</math>, <math>F</math> und <math>G</math> die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen <math>E_u</math>, <math>F_{uv}</math> usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern <math>u</math> und <math>v</math>, mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.
- Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:
- <math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG-F^2}}\left(
\left(\frac{E_v-F_u}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_v
+\left(\frac{G_u-F_v}{\sqrt{EG-F^2}}\right)_u\right)
-\frac{1}{4 \left(EG-F^2\right)^2}\begin{vmatrix}
E & E_u & E_v \\
F & F_u & F_v \\
G & G_u & G_v
\end{vmatrix}</math>
- Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung (<math>F=0</math>) reduziert sich diese Formel auf
- <math>K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(
\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v
+\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u
\right)</math>
- Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt <math>0<E=G</math> und <math>F=0</math>, dann schreibt sich
- <math> K = -\frac{1}{2E} \Delta \log E</math>
- mit dem Laplaceoperator
- <math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2}</math>.
- Ist die Fläche als Nullstellenmenge <math>f^{-1}(0)</math> einer Funktion <math>f:\R^3\to\R</math> mit regulärem Wert <math>0\in\R</math> gegeben, dann berechnet sich die Gaußsche Krümmung aus der Formel[1]
- <math>
K=\frac{{\nabla f}^T\cdot\operatorname{adj}(H_f)\cdot\nabla f}{|\nabla f|^4}.
</math>
- Dabei ist <math>|\nabla f|</math> der Betrag des Gradienten und <math>\operatorname{adj}(H_f)</math> die Adjunkte der Hesse-Matrix von <math>f</math>.
Literatur
- Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.
Einzelnachweise
- ↑ Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3, Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1.</span>
