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Gleichmäßige Konvergenz

In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\N}</math>, mit einer vom Funktionsargument unabhängigen „Geschwindigkeit“ gegen eine Grenzfunktion <math>f</math> zu konvergieren. Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, wichtige Eigenschaften der Funktionen <math>f_n</math> wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit, auf die Grenzfunktion <math>f</math> zu übertragen.[1]

Inhaltsverzeichnis

Definition

Gegeben seien eine Funktionenfolge

<math>\left(f_n\colon D_f\subseteq\R\to\R\right)_{n\in\N}</math>,

die jeder natürlichen Zahl <math>n</math> eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion <math>f</math>. Alle <math>f_n</math> sowie <math>f</math> seien auf derselben Definitionsmenge <math>D_f</math> definiert. Die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> konvergiert genau dann gleichmäßig gegen <math>f</math>, wenn

<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in D_f} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0.</math>

Man betrachtet hier die absolute Differenz von <math>f_n\left(x\right)</math> und <math>f\left(x\right)</math> für alle <math>x</math> aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschränkt oder hat eine kleinste obere Schranke, ein Supremum. Gleichmäßige Konvergenz von <math>f_n</math> gegen <math>f</math> bedeutet, dass dieses Supremum für fast alle <math>n</math> existiert und gegen Null geht, wenn <math>n</math> gegen unendlich strebt.

Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren: Alle Bezeichnungen seien wie oben. Dann konvergiert <math>f_n</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> genau dann, wenn für alle <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>N \in \N</math> existiert, so dass für alle <math>n \ge N</math> und für alle <math>x \in D_f</math> gilt:

<math>\left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon.</math>

Beispiel

Die Funktionenfolge

<math>\left(f_n\colon \left[0,q\right]\to\R\right)_{n\in \N}\ \text{mit}\ f_n(x)=x^n</math>

konvergiert für <math>0<q<1</math> auf ihrem Definitionsbereich für <math>n\to \infty</math> gleichmäßig gegen

<math>f\colon \left[0,q\right]\to\R\ \text{mit}\ f(x)=0</math>

Vergleich zwischen gleichmäßiger und punktweiser Konvergenz

Die Wahl von <math>N</math> bei gleichmäßiger Konvergenz hängt nur von <math>\varepsilon</math> ab. Im Gegensatz dazu hängt bei punktweiser Konvergenz <math>N</math> sowohl von <math>\varepsilon</math> als auch von <math>x</math> ab. Formuliert man beide Konvergenzbegriffe mithilfe von Quantoren, so sieht man, dass sie sich in der Reihenfolge der „Einführung“ von <math>x</math> und <math>N</math> und damit der Abhängigkeit der zwei Variablen voneinander unterscheiden (siehe das Unterstrichene):

punktweise Konvergenz: f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und
gleichmäßige Konvergenz: f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math>

d. h., für punktweise Konvergenz muss es für jedes <math>x</math> und für jedes <math>\varepsilon > 0</math> eine natürliche Zahl <math>N</math> geben, so dass für alle <math>n\geq N</math> gilt: <math>\left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon</math>.

Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt. Beispielsweise konvergiert die Funktionenfolge <math>F=(f_n)_{n\in \N}</math> definiert durch

<math>f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \leq n \\ 1, & x>n \end{cases} </math>

punktweise gegen die Nullfunktion <math>f\equiv 0</math> für jedes <math>x\in\R</math>, ist aber keine gleichmäßig konvergente Folge.

Bezeichnung

Für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \N}</math>, die gegen <math>f</math> strebt, wird meistens eine der folgenden Bezeichnungen verwendet[2][3]

<math>f_n\underset{n\ }{\Rightarrow}f,</math>

oder

<math>f_n\underset{n\ }{\rightrightarrows}f,</math>

oder

<math>\underset{n\to \infty}{\mathrm{Lim}}f_n=f.</math>

Gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt

Eine Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> heißt in dem Punkt <math>\xi</math> gegen <math>f</math> gleichmäßig konvergent, wenn

<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \N\ \exists \delta>0\ \forall x \in (D_f\cap\{y\mid |y-\xi|<\delta\}) \ \forall n \ge N : \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon.</math>

Wenn statt für alle <math>n</math> die Gültigkeit der Ungleichung <math>|f_n(x)-f(x)| < \varepsilon</math> für mindestens ein <math>n</math> verlangt wird, dann heißt die Konvergenz uniform. Gleichmäßig konvergente Folgen sind auch uniform konvergent. Die uniforme Konvergenz impliziert keine punktweise Konvergenz.[4]

Sei

  • <math>\mathfrak{G}\,</math> die Klasse der gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen,
  • <math>\mathfrak{J}\,</math> die Klasse der in jedem Punkt gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und
  • <math>\mathfrak{P}\,</math> die Klasse der in jedem Punkt punktweise konvergenten Funktionenfolgen.

Damit gilt: <math>\mathfrak{G}\varsubsetneq \mathfrak{J} \varsubsetneq \mathfrak{P}</math>.

Die oben erwähnte Funktionenfolge <math>F</math> liegt in <math>\mathfrak{J}\setminus \mathfrak{G}</math>, ist also in jedem Punkt gleichmäßig konvergent, aber nicht global.

Ein Beispiel für eine Funktionenfolge aus <math>\mathfrak{P}\setminus \mathfrak{J}</math> ist <math>(h_n)_{n\in\N}</math> definiert durch

<math>h_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in \textstyle A_n:= (\R \setminus \Q) \cup \{y \in \Q \mid y = \tfrac{p}{q}, p \in \Z, q \in \N, 0 < q \leq n \} \\ 1, & x\notin A_n \end{cases} </math>

Die Funktionenfolge <math>(h_n)_{n\in\N}</math> konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl <math>y</math> liegt in allen <math>A_n</math>, deren <math>n</math> gleich oder größer ist als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches <math>y</math>. Andererseits liegen im Schnitt einer <math>A_n</math> und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem <math>n</math> und jeder Zahl <math>z \in A_n</math> stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu <math>z</math> beliebig klein ist und die nicht in <math>A_n</math> liegen. Also konvergiert die Folge <math>\textstyle(h_n)_{n\in \N}</math> in keinem Punkt gleichmäßig.

Folgerungen

Wie schon erwähnt, ermöglicht der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen über die Grenzfunktion, was bei punktweiser Konvergenz nicht möglich ist. Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben, <math>I</math> sei ein reelles Intervall. Es ergeben sich folgende Sätze:

Stetigkeit

  • Es sei <math>F=(f_n)_{n\in\N}</math> eine Folge stetiger Funktionen. Wenn <math>F</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert, dann ist <math>f</math> stetig. Anstatt gleichmäßige Konvergenz zu fordern, ist es auch ausreichend, von einfach-gleichmäßiger Konvergenz auszugehen.
  • Sei <math>F=(f_n)_{n\in\N}</math> eine gegen <math>f</math> punktweise konvergente Funktionenfolge. Alle <math>f_n</math> seien noch dazu in <math>\xi</math> stetig. <math>f</math> ist in <math>\xi</math> stetig genau dann, wenn <math>F</math> in dem Punkt <math>\xi</math> uniform konvergent ist.[4]
  • Die Menge der Punkte gleichmäßiger Konvergenz sowie die Menge der Punkte uniformer Konvergenz einer überall punktweise konvergenten Funktionenfolge ist Gδ-Menge.[4]
  • Die gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen mit kompaktem Definitionsbereich sind alle gleichgradig stetig.[2]
  • Sei <math>I</math> ein kompaktes Intervall und <math>F=(f_n)_{n\in\N}</math> eine auf <math>I</math> gleichgradig stetige Folge. Wenn <math>F</math> punktweise gegen <math>f</math> konvergiert, dann konvergiert sie auch gleichmäßig.
  • Sei <math>F=(f_n)_{n\in\N}</math> eine Funktionenfolge mit kompaktem Definitionsbereich <math>D</math>. <math>F</math> besitzt genau dann eine gleichmäßig konvergente Teilfolge, wenn <math>F</math> gleichgradig stetig ist und in jedem Punkt von <math>D</math> beschränkt ist (Satz von Arzelà-Ascoli).[2]

Differenzierbarkeit

Für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion ergibt sich kein derart starkes Resultat wie für die Stetigkeit. Es seien die <math>f_n</math> differenzierbar auf <math>I</math> und gleichmäßig konvergent gegen <math>f</math>. Im Allgemeinen braucht die Grenzfunktion nicht einmal differenzierbar zu sein, und wenn sie es ist, muss ihre Ableitung keineswegs gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Folge sein. So konvergiert z. B. die durch <math>\textstyle f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}</math> definierte Funktionenfolge gleichmäßig gegen 0, die Folge der Ableitungen <math>(f'_n)_{n\in \N}</math> aber nicht.
Allgemein kann man sagen: Es seien alle <math>f_n</math> differenzierbar. Wenn <math>(f_n)_{n\in\N}</math> in einem Punkt konvergiert und die Folge der Ableitungen <math>(f_n')_{n\in\N}</math> gleichmäßig gegen <math>g</math> konvergiert, dann konvergiert <math>f_n</math> punktweise gegen ein <math>f</math> und <math>f</math> ist differenzierbar mit der Ableitung <math>g</math>.

Integrierbarkeit

Für das Riemann-Integral auf Intervallen kann bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung vertauscht werden:

Es seien alle <math>f_n</math> (Riemann-)integrierbar. Wenn <math>(f_n)_{n\in\N}</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert, dann ist <math>f</math> Riemann-integrierbar, und das Integral von <math>f</math> ist der Grenzwert der Integrale der <math>f_n</math>.

Ein Beispiel für eine punktweise, jedoch nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolge, bei der das Integral nicht mit dem Grenzwert vertauscht werden kann, liefert diese Funktionenfolge: Für jedes <math>n \in \N</math> ist die Funktion <math>f_n\colon[0,2]\to\R</math> definiert durch

<math>f_n(x)=\begin{cases}n^2x&0\leq x\leq 1/n\\2n-n^2x&1/n\leq x\leq2/n\\0&x\geq2/n\end{cases}</math>

stetig und daher Riemann-integrierbar. Für das Integral gilt

<math>\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx=1</math>.

Die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in\N}\;</math> konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion <math>f(x)=0</math> für alle <math>x \in [0,2]</math>. Somit ist

<math>1=\lim_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx\ne\int_0^2\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx=0.</math>

Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen.

Satz von Dini

Hauptartikel: Satz von Dini

Wenn <math>I</math> ein kompaktes Intervall und <math>(f_n)_{n\in\N}</math> eine monotone Folge stetiger Funktionen ist (d. h. <math>f_{n+1}(x)</math> ≥ <math>f_n(x)</math> oder <math>f_{n+1}(x)</math> ≤ <math>f_n(x)</math> für jedes <math>n</math> und beliebiges <math>x</math>), die punktweise gegen eine ebenfalls stetige Funktion <math>f</math> konvergiert, dann konvergiert <math>(f_n)_{n\in\N}</math> auch gleichmäßig.

Verallgemeinerungen

Gleichmäßige Konvergenz komplexer Funktionenfolgen

Definition

Die gleichmäßige Konvergenz für komplexe Funktionenfolgen wird genau so wie im Falle von reellen Funktionenfolgen definiert. Eine Funktionenfolge

<math>F=(f_n \colon D_f\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C})_{n\in \N}</math>

heißt gegen

<math>f \colon D_f\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>

gleichmäßig konvergent, wenn

<math>\forall \varepsilon \in \R_+ \ \exists N \in \N \ \forall z \in D_f \ \forall n \ge N : \left|f_n(z)-f(z)\right| < \varepsilon.</math>

Chordal gleichmäßige Konvergenz

<math>F</math> heißt chordal gleichmäßig konvergent, wenn

<math>\forall \varepsilon \in \R_+ \ \exists N \in \N \ \forall z \in D_f \ \forall n \ge N : \chi(f_n(z),f(z)) < \varepsilon,</math>

wobei

<math>\chi(w,z)=\frac{|w-z|}{\sqrt{(1+|w|^2)(1+|z|^2)}}</math>

die Bezeichnung für chordalen Abstand ist.

Sei

  • <math>\mathfrak{K}(D)\,</math> die Klasse der auf <math>D</math> gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen,
  • <math>\mathfrak{H}(D)\,</math> die Klasse der auf <math>D</math> chordal gleichmäßig konvergenten Funktionenfolgen und
  • <math>\mathfrak{B}(D)\,</math> die Klasse der auf <math>D</math> gegen eine in <math>D</math> beschränkte Funktion punktweise konvergenten Funktionenfolgen.

Es gilt

<math>\mathfrak{H}(D)\cap \mathfrak{B}(D)\subset \mathfrak{K}(D)\varsubsetneq \mathfrak{H}(D)\,</math>

Eigenschaften

Ähnlich wie bei der gleichmäßigen Konvergenz reeller Funktionenfolgen können auch im Komplexen der gleichmäßige Grenzwert mit dem Differential oder dem Kurvenintegral vertauscht werden.

Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen

Sei <math>S</math> eine Menge, <math>(M,d)</math> ein metrischer Raum und <math>(f_n \colon S \to M)_{n \in \N}</math> eine Funktionenfolge. Diese Funktionenfolge heißt gleichmäßig konvergent gegen <math>f</math>, wenn für alle <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>N \in \N</math> existiert, so dass <math>\forall n\ge N</math>

<math>\sup_{x \in S} \ d(f_n(x), f(x)) < \varepsilon </math>

gilt.

Gleichmäßige Konvergenz in uniformen Räumen

Völlig analog lässt sich gleichmäßige Konvergenz für Funktionen in einen uniformen Raum <math>Y</math> mit einem System von Nachbarschaften <math>\Phi</math> definieren: Ein Filter (oder allgemeiner eine Filterbasis) <math>\mathcal{F}</math> auf der Menge der Funktionen <math>X\to Y</math> für eine Menge <math>X</math> konvergiert genau dann gegen eine Funktion <math>f\colon X\to Y</math>, wenn für jede Nachbarschaft <math>E\in\Phi</math> ein <math>F\in\mathcal{F}</math> existiert, sodass

<math>\left\{\left(f(x),g(x)\right) \mid x\in X,\ g\in F\right\}\subseteq E</math>.

Siehe auch

Quellen

  1. St. Goebbels, St. Ritter: Mathematik verstehen und anwenden - von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Spektrum, Heidelberg 2011. ISBN 978-3-8274-2761-8, S. 360 - 369.
  2. a b c H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. B. G. Teubner, Stuttgart 1984, ISBN 3-519-22221-3, Teil 1, XIII., 103., 106.
  3. V. Zorich: Analysis II. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-46231-6.
  4. a b c F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. 1914, Chelsea Publishing Co., New York 1949, Kap. IX, § 4.

Weblinks

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