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Gruppentheorie

Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur von Gruppen.

Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verkn├╝pfung, die durch das Hintereinanderausf├╝hren dieser Symmetrien gegeben ist. So bilden beispielsweise die Drehungen eines regelm├Ą├čigen <math>n</math>-Ecks in der Ebene, mit denen die Figur auf sich selbst abgebildet werden kann, eine Gruppe mit <math>n</math> Elementen. Um dieses Konzept allgemein zu fassen, hat sich eine knappe und m├Ąchtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verkn├╝pfung (durch die jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein Element dieser Menge als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verkn├╝pfung assoziativ ist und es ein neutrales Element gibt sowie zu jedem Element ein Inverses. So bildet zum Beispiel auch die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe.

Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgel├Âst, zun├Ąchst durch die Frage nach der L├Âsbarkeit von algebraischen Gleichungen, sp├Ąter durch die Untersuchung geometrischer Symmetrien. Dementsprechend stand zun├Ąchst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verst├Ąrkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beitr├Ąge stammen unter anderem von ├ëvariste Galois und Niels Henrik Abel in der Algebra sowie Felix Klein und Sophus Lie in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen, also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen.

Die gro├če Bedeutung der Gruppentheorie f├╝r viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der Algebra ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: Ringe, K├Ârper, Moduln und Vektorr├Ąume sind Gruppen mit zus├Ątzlichen Strukturen und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen ├╝berall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molek├╝len und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Ph├Ąnomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte Darstellungstheorie die theoretischen Grundlagen und er├Âffnen wichtige Anwendungen.

Inhaltsverzeichnis

Zugang ohne mathematische Voraussetzungen

Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von Dingen (z. B. Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verkn├╝pfung, in diesem Absatz als <math>\times</math> dargestellt), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Diese Rechenvorschrift muss dabei bestimmten Regeln gen├╝gen, den sogenannten Gruppenaxiomen, die im Folgenden erkl├Ąrt werden.

Von einer Gruppe spricht man, falls f├╝r eine Menge zusammen mit einer Verkn├╝pfung je zweier Elemente dieser Menge, hier geschrieben als <math>a \times b</math>, die folgenden Anforderungen erf├╝llt sind:

  1. Die Verkn├╝pfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit)
  2. F├╝r die Verkn├╝pfung ist die Klammerung unerheblich, das hei├čt, es gilt <math>(a \times b) \times c = a \times (b \times c)</math> f├╝r alle <math>a,b,c</math>. (Assoziativgesetz)
  3. Es gibt ein Element <math>e</math> in der Menge, das bez├╝glich der Verkn├╝pfung nichts bewirkt, also ein <math>\times</math>-neutrales Element: <math>a \times e = e \times a = a</math> f├╝r alle <math>a</math>.
  4. Zu jedem Element <math>a</math> gibt es bez├╝glich der Verkn├╝pfung ein Umkehr-Element, also ein <math>\times</math>-inverses Element <math>a^*</math>. Dieses hat die Eigenschaft, beim Verkn├╝pfen mit <math>a</math> das neutrale Element zu ergeben: <math>a^* \times a = a \times a^* = e</math>.

Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verkn├╝pfungen die Rede ist, etwa <math>\times</math> und <math>\circ</math>, dann gibt es mehrere neutrale und inverse Elemente, jeweils passend zur Verkn├╝pfung. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass nur eine bestimmte Verkn├╝pfung gemeint ist, dann spricht man kurz von dem neutralen Element <math>e</math> und dem inversen Element <math>a^*</math> zu <math>a</math> ohne die Verkn├╝pfung nochmals explizit zu erw├Ąhnen.

  • Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, wenn also stets <math>a \times b = b \times a</math> gilt, dann liegt eine abelsche Gruppe vor, auch kommutative Gruppe genannt. (Kommutativgesetz)

Beispiele f├╝r abelsche Gruppen sind

  • die ganzen Zahlen <math>\Z</math> mit der Addition <math>+</math> als Verkn├╝pfung und der Null als neutralem Element,
  • die rationalen Zahlen <math>\Q</math> ohne Null mit der Multiplikation <math>\cdot</math> als Verkn├╝pfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt: ÔÇ×1/0ÔÇť ist nicht definiert.

Die sehr allgemeine Definition von Gruppen erm├Âglicht es, nicht nur Mengen von Zahlen mit entsprechenden Operationen als Gruppen aufzufassen, sondern auch andere mathematische Objekte mit geeigneten Verkn├╝pfungen, die die obigen Anforderungen erf├╝llen. Ein solches Beispiel ist die Menge der Drehungen und Spiegelungen (Symmetrietransformationen), durch die ein regelm├Ą├čiges n-Eck auf sich selbst abgebildet wird, mit der Hintereinanderausf├╝hrung der Transformationen als Verkn├╝pfung (Diedergruppe).

Definition einer Gruppe

Ôćĺ Hauptartikel: Gruppe (Mathematik)

Eine Gruppe ist ein Paar <math>(G,*)</math>. Dabei ist <math>G</math> eine Menge und <math>*</math> eine zweistellige Verkn├╝pfung bez├╝glich <math>G</math>. Das hei├čt, dadurch wird die Abbildung <math>*\colon G \times G \to G, (a,b) \mapsto a*b</math> beschrieben. Zudem m├╝ssen die folgenden Axiome f├╝r die Verkn├╝pfung erf├╝llt sein, damit <math>(G,*)</math> als Gruppe bezeichnet werden kann:

  • Assoziativit├Ąt: F├╝r alle Gruppenelemente <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> gilt: <math>(a*b)*c = a*(b*c).</math>
  • Es gibt ein neutrales Element <math>e\in G</math>, mit dem f├╝r alle Gruppenelemente <math>a\in G</math> gilt: <math>a*e = e*a = a</math>.
  • Zu jedem Gruppenelement <math>a\in G</math> existiert ein inverses Element <math>a^{-1}\in G</math> mit <math>a*a^{-1} = a^{-1}*a = e</math>.

Eine Gruppe <math>(G,*)</math> hei├čt abelsch oder kommutativ, wenn zus├Ątzlich das folgende Axiom erf├╝llt ist:

  • Kommutativit├Ąt: F├╝r alle Gruppenelemente <math>a</math> und <math>b</math> gilt <math>a*b = b*a</math>.

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente <math>a,b \in G</math> gibt, f├╝r die <math>a*b \ne b*a</math> ist, hei├čt die Gruppe <math>(G,*)</math> nicht-abelsch (oder nicht-kommutativ).

Beispiele

Bekannte Beispiele f├╝r Gruppen sind:

Eine ausf├╝hrlichere Aufz├Ąhlung finden Sie in der Liste kleiner Gruppen.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe

Die M├Ąchtigkeit (Kardinalit├Ąt) <math>|G|</math> der Tr├Ągermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. F├╝r endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Ordnung von Elementen

Ôćĺ Hauptartikel: Ordnung eines Gruppenelementes

Ergibt ein Element <math>a</math> der Gruppe, endlich viele Male <math> n </math> mit sich selbst verkn├╝pft, das neutrale Element 1, d. h. gilt f├╝r ein geeignetes n: <math>a^n = 1</math>, so nennt man das kleinste derartige <math>n > 0</math> die Ordnung des Elements <math>a</math>. Falls kein solches <math>n</math> existiert, sagt man, dass <math>a</math> unendliche Ordnung hat. In beiden F├Ąllen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Davon ausgehend kann man zeigen, dass die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe endlich ist und die Gruppenordnung teilt (Satz von Lagrange).

Die kleinste Zahl <math> n </math>, f├╝r welche <math> a^n=1 </math> f├╝r alle Gruppenelemente <math> a </math> zugleich erf├╝llt ist, wird Gruppenexponent genannt.

Untergruppen

Ôćĺ Hauptartikel: Untergruppe

Ist <math>H</math> eine Teilmenge der Tr├Ągermenge <math>G</math> einer Gruppe <math>(G,*)</math> und ist <math>(H,*)</math> selbst eine Gruppe, so nennt man <math>H</math> eine Untergruppe von <math>G</math>.

Hierzu ein wichtiger Satz (Satz von Lagrange): Die Ordnung (Anzahl der Elemente) jeder Untergruppe <math>H</math> einer endlichen Gruppe <math>G</math> ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe <math>G</math>, da gilt <math> |G|=[G:H] \cdot |H|</math>. Ist speziell <math>|G|</math> eine Primzahl, dann hat <math>G</math> nur die (trivialen) Untergruppen <math>\{e\}</math> (bestehend aus dem neutralen Element) und <math>G</math> selbst.

Nebenklassen

Definiert man auf der Gruppe <math>G</math> mit einer Untergruppe <math>H</math> die Relation <math>\sim</math> durch:

<math>a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}*b \in H</math>,

erh├Ąlt man eine ├äquivalenzrelation auf <math>G</math>. Die ├äquivalenzklasse zu einem Element <math>a \in G</math> (d. h. die Klasse aller Elemente <math>b</math>, die zu <math>a</math> in der Relation <math>\sim</math> stehen), ist die Menge

<math>\{a*u \mid u \in H\}</math>.

F├╝r diese Menge schreibt man <math>a*H</math> oder <math>aH</math>. Da diese Menge alle Elemente von <math>G</math> enth├Ąlt, die dadurch entstehen, dass das Element <math>a</math> mit allen Elementen aus <math>H</math> verkn├╝pft wird, hei├čt sie die Linksnebenklasse von <math>H</math> nach dem Element <math>a</math>.

Wenn man andererseits eine Relation <math> a \backsim b</math> durch

<math> a \backsim b \Leftrightarrow b*a^{-1} \in H</math>,

definiert, dann ist dies normalerweise eine andere ├äquivalenzrelation und die Menge der zu <math>a</math> ├Ąquivalenten Elemente in <math>G</math> jetzt

<math>\{u*a \mid u \in H\}</math>,

die durch Rechtsverkn├╝pfung der Elemente aus <math>H</math> mit dem Element <math>a</math> entsteht. Sie wird mit <math>H*a</math> oder <math>Ha</math> bezeichnet und Rechtsnebenklasse von <math>H</math> nach dem Element <math>a</math> genannt.

Induzierte Verkn├╝pfung

Ist <math>H</math> ein Normalteiler (siehe unten), dann sind die Linksnebenklassen identisch mit den Rechtsnebenklassen und man kann auf den Nebenklassen eine Verkn├╝pfung definieren:

<math>a_1H * a_2H := a_1 * a_2H</math>

Die Verkn├╝pfung ist wohldefiniert, da <math>H</math> ein Normalteiler ist; sie also nicht abh├Ąngig von der Wahl der Repr├Ąsentanten <math>a_1</math> und <math>a_2</math> in ihrer Nebenklasse. (Ist <math>H</math> nicht Normalteiler, dann gibt es Nebenklassen mit Repr├Ąsentanten, die verschiedene Ergebnisse produzieren.)

Eine nichtleere Teilmenge <math>M\subseteq G</math> einer Gruppe <math>G</math> ist genau dann eine Links- oder Rechtsnebenklasse einer Untergruppe, wenn mit Elementen <math>a,b,c\in M</math> stets auch das Element <math>a*b^{-1}*c\in M</math> ist.

Beispiel

Wir betrachten die ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppe <math>G</math>. Dann ist die Menge <math>H=\left\{\ldots,-3,0,3,6,\ldots\right\}</math> aller ganzzahligen Vielfachen von 3 eine Untergruppe. Es ergeben sich 3 Rechtsnebenklassen:

H     H+1   H+2  H+3=H  H+4=H+1 ...
...   ...   ...
-6    -5    -4
-3    -2    -1
 0     1     2
 3     4     5
 6     7     8
...   ...   ...

Da <math>H</math> die Menge der durch 3 teilbaren Zahlen ist, sind die Nebenklassen <math>H+r</math> gerade die Restklassen modulo 3. Die Tabelle enth├Ąlt alle ganzen Zahlen, wobei keine Zahl zweimal vorkommt, in einer gemeinsamen Spalte stehen jeweils die Zahlen, die beim Teilen durch drei den gleichen Rest <math>r</math> lassen.

Jetzt mag man versucht sein, hier nur mit den Nebenklassen zu rechnen, also modulo 3, und sich fragen, ob es so ein Konzept zu jeder Untergruppe f├╝r beliebige Gruppen gibt. Dies f├╝hrt zur folgenden Definition:

Normalteiler

Ôćĺ Hauptartikel: Normalteiler

Ist f├╝r jedes Element <math>a \in G</math> die linke Nebenklasse von <math>H</math> gleich der rechten, d. h. <math>aH=Ha</math>, so nennt man <math>H</math> einen Normalteiler von <math>G</math>.

In einer kommutativen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler.

Faktorgruppe

Ôćĺ Hauptartikel: Faktorgruppe

Die Linksnebenklassen (oder auch die Rechtsnebenklassen) bez├╝glich einer Untergruppe teilen die Gruppe (als Menge angesehen) in disjunkte Teilmengen auf. Ist die Untergruppe sogar ein Normalteiler, so ist jede Linksnebenklasse zugleich eine Rechtsnebenklasse und wird ab jetzt nur Nebenklasse genannt. F├╝r zwei gegebene Nebenklassen ist die Menge aller m├Âglichen Produkte eines Elements der einen Nebenklasse mit einem Element der anderen Nebenklasse wieder eine Nebenklasse. Man kann die Nebenklassen damit als Elemente einer neuen Gruppe, der Faktorgruppe, ansehen.

Bei der Konstruktion der Faktorgruppe ignoriert man insbesondere, dass die Nebenklassen ÔÇ×eigentlichÔÇť Mengen von Gruppenelementen sind. Die Faktorgruppe ist eine Art vergr├Âbertes Abbild der originalen Gruppe.

Die Elemente der Faktorgruppe von <math>G</math> bez├╝glich <math>N</math> sind die Nebenklassen <math>gN</math> f├╝r <math>g\in G</math>, und die Verkn├╝pfung ist wie folgt gegeben

<math> g, h \in G , N \trianglelefteq G \quad (gN)*(hN) = (g*h)N.</math>

Diese Definition ist konsistent, da das Ergebnis von der Wahl der Elemente g und h aus den Nebenklassen unabh├Ąngig ist. Man nennt die Verkn├╝pfung dann wohldefiniert.

Die mit den Nebenklassen als Elementen und dieser Verkn├╝pfung definierte Gruppe nennt man die Faktorgruppe von <math>G</math> bez├╝glich <math>N</math>.

Zyklische Gruppen

Ôćĺ Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Gibt es in <math>G</math> ein Element <math>a</math>, so dass man jedes andere Element als Potenz <math>a^n</math> (mit einer ganzen Zahl <math>n</math>, die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man <math>G</math> eine zyklische Gruppe und <math>a</math> erzeugendes Element.

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen

Eine nicht-triviale Gruppe hei├čt einfach, wenn sie keine Normalteiler au├čer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Beispielsweise sind alle Gruppen von Primzahlordnung einfach. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als ÔÇ×GrundbausteineÔÇť von Gruppen. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollst├Ąndig klassifiziert. Jede geh├Ârt entweder zu einer der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen oder ist eine der 26 Ausnahmegruppen, die auch als sporadische Gruppen bezeichnet werden.

Ausblick

Rubiks Zauberw├╝rfel als Beispiel einer endlichen nichtabelschen Gruppe

Die Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberw├╝rfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des W├╝rfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.

Anwendungen

Chemie

Die Koordinaten der Atome der Molek├╝le in ihrer Gleichgewichtskonformation lassen sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen haben die Eigenschaften von Gruppen, die so genannten Punktgruppen. Au├čerdem kann gezeigt werden, dass die Gruppentheorie auch f├╝r die Symmetrie von Funktionen gilt, also auch f├╝r Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

Beispielanwendungen

Physik

In der Quantenmechanik sind Symmetriegruppen als Gruppen von unit├Ąren oder antiunit├Ąren Operatoren realisiert. Die Eigenvektoren einer maximalen, abelschen Untergruppe dieser Operatoren zeichnet eine physikalisch wichtige Basis aus, die zu Zust├Ąnden mit wohldefinierter Energie oder Impuls oder Drehimpuls oder Ladung geh├Ârt. Beispielsweise bilden in der Festk├Ârperphysik die Zust├Ąnde in einem Kristall mit einer fest gew├Ąhlten Energie einen Darstellungsraum der Symmetriegruppe des Kristalls.

Siehe auch

Literatur

  • Pavel S. Alexandroff: Einf├╝hrung in die Gruppentheorie. Deutsch, Frankfurt 2007, ISBN 978-3-8171-1801-4.
  • Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen - eine Einf├╝hrung. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-60331-X.
  • Thorsten Camps, et al.: Einf├╝hrung in die kombinatorische und die geometrische Gruppentheorie. Heldermann, Lemgo 2008, ISBN 978-3-88538-119-8.
  • Oleg Bogopolski: Introduction to group theory. European Math. Soc., Z├╝rich 2008, ISBN 978-3-03719-041-8.

Weblinks

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