|
Lexikon auf Ihrer Homepage |
|
Lexikon als Lesezeichen hinzufügen |
Ein Koordinatensystem (mathematisches KĂŒrzel: KOS) dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum.
Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Bezeichnung von Positionen im Raum. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. Auch im Alltag werden Koordinatensysteme hÀufig verwendet:
2-dimensionale kartesische Koordinaten zur Lokalisierung von Hydranten
Mannheimer StraĂenschild
Schachbrett
Ortsplan
Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrĂŒckt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem "Koordinatenpaar" beziehungsweise einem "Koordinatenkreuz". Der Fachbegriff der Koordinate, in der Bedeutung âLageangabeâ, wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.[1]
Der Koordinatenursprung (mathematisches KĂŒrzel: KOU) bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt genannt, oder bei Polarkoordinaten "Pol".
Durch den Ursprung verlaufen hÀufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen, siehe auch Achsenbeschriftung. Geographische Koordinatensysteme haben keine Koordinatenachse.
Die Position eines Punktes im Raum wird im gewĂ€hlten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder GröĂenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lĂ€sst sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, FlĂ€che, Körper) ĂŒber deren Koordinaten angeben.
Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum. Man fasst die Koordinaten eines n-dimensionalen Raumes dann auch als n-Tupel von reellen Werten (allgemeiner: von Elementen des zugrundeliegenden Körpers) auf.
Die am hĂ€ufigsten verwendeten Koordinatensysteme â dies gilt besonders fĂŒr die Schulmathematik â sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.
In projektiven RĂ€umen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch fĂŒr "gewöhnliche" Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusĂ€tzliche "homogenisierende" Koordinate erforderlich, ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch <math>n+1</math> homogene Koordinaten beschrieben.
Die Position eines Punktes im Raum kann in verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden. Dabei wird die Position durch Koordinaten ausgedrĂŒckt. Je nach verwendetem Koordinatensystem hat derselbe Punkt unterschiedliche Koordinatenwerte.
Bei symmetrischen Systemen, bei denen eine Dimension ĂŒberall gleich ist, kann man durch Darstellung in einem geeigneten Koordinatensystem erreichen, dass einzelne Koordinaten konstant bleiben. Zum Beispiel genĂŒgt zur Festlegung einer Position auf der ErdoberflĂ€che die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (LĂ€ngengrad und Breitengrad), denn die dritte Koordinate ist durch den Erdradius festgelegt. Wenn hingegen zusĂ€tzlich die Höhe eines Punktes beschrieben werden soll, muss diese als dritte Koordinate zusĂ€tzlich erfasst werden. DafĂŒr wird zusĂ€tzlich eine HöhenbezugsflĂ€che benötigt.
Runde Körper, beispielsweise die Erde oder andere Himmelskörper, werden durch sphÀrische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) beschrieben. (Besonderheit: KoordinatensingularitÀt)
Eine Ebene im Raum wird mit kartesischen Koordinaten beschrieben: zwei Koordinaten sind variabel, die dritte ist (ohne BeschrÀnkung der Allgemeinheit) durch den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung festgelegt.
Man unterscheidet zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen. Wenn auĂerdem Koordinatenlinien in jedem Punkt senkrecht aufeinander stehen, nennt man solche Koordinatensysteme orthogonal.
Die Transformation zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen erfolgt durch Koordinatentransformation. Die unterschiedlichen Zahlenwerte der n-Tupel beschreiben dieselbe Position im Raum. Beim Ăbergang von geradlinigen (affinen) Koordinaten zu krummlinigen Koordinaten ist zur Berechnung von GröĂen wie Volumen die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) anzuwenden.
Der uns umgebende und in Mathematik und Physik benutzte Raum ist der dreidimensionale euklidische Raum. Wenn fĂŒr diesen Raum das Newtonsche TrĂ€gheitsgesetz der klassischen Physik gilt, spricht man von einem Inertialsystem.
Oft kann eine Raumdimension vernachlÀssigt werden, so dass nur ein zweidimensionaler Raum zu betrachten ist. Unter Einbeziehung der Zeit entsteht der vierdimensionale Minkowski-Raum der RelativitÀtstheorie.
Diese RĂ€ume lassen sich durch kartesische Koordinaten beschreiben, das sind affine (geradlinige) Koordinaten, die entlang senkrecht aufeinander stehender Achsen gemessen werden.
Bei der Beschreibung in Polarkoordinaten werden der Abstand von einem festgelegten Koordinatenursprung und Winkel zu gegebenen Achsen als Koordinaten verwendet. Auch hier stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander.
Andere Koordinatensysteme werden in Bezug auf geometrische Objekte (Zylinder, Kegelschnitt) definiert: Zylinderkoordinaten, Hyperbolische Koordinaten.
Einige nur in Fachgebieten (z. B. GeodÀsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie) gebrÀuchliche Koordinatensysteme sind:
In einem (endlichdimensionalen) Vektorraum ist durch eine Basis automatisch ein Koordinatensystem gegeben. Die Koeffizienten der Basisvektoren lassen sich als Koordinaten verstehen. Einer Transformation zwischen zwei Basissystemen entspricht eine Transformation zwischen den entsprechenden Koordinatensystemen.
Wenn eine Transformation von einer Basis zu einer anderen eine lineare Abbildung ist, die etwa durch eine Matrix dargestellt werden kann, sind auch die entsprechenden Transformationen der Koordinatensysteme linear.
Ein Koordinatensystem wird nicht nur durch die Norm, also die LĂ€nge "1", die Grad- oder Krummlinigkeit der Hauptachsen, also der Koordinatenachsen und die Winkel zwischen den Koordinatenachsen unterschieden, sondern auch durch die Orientierung und den Drehsinn des Koordinatensystems. Beide Eigenschaften beschreiben gemeinsam den Zusammenhang der Koordinatenachsen bei rotatorischer Transformation einer Achse in eine andere.
Man unterscheidet zwischen rechts- und linkshĂ€ndigen Koordinatensystemen, wobei rechtshĂ€ndige Koordinatensysteme vereinbarungsgemÀà einen mathematisch positiven Drehsinn besitzen. Zur ĂberprĂŒfung, ob ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem die hierzu ĂŒbliche rechtshĂ€ndige Achsenorientierung einhĂ€lt, verwendet man die sogenannte Drei-Finger-Regel der rechten Hand.
