Linse (bikonvex)

Als optische Linse bezeichnet man ein lichtdurchlässiges Bauelement mit zwei lichtbrechenden Flächen, von denen mindestens eine Fläche konvex oder konkav gewölbt ist. Sie wird allein oder in Kombination mit anderen Linsen gebraucht, um eine optische Abbildung herzustellen.

Die Form der Linsenflächen ist in der Regel sphärisch, weil das leicht herzustellen ist. Mit einer schwerer herstellbaren Asphärische Linse können Abbildungsfehler verkleinert werden.

Linsen mit schwacher Wölbung – also großer Brennweite – können dünner sein als stark gewölbte, dicke Linsen. Die sogenannte dünne Linse hat einen Vorteil bei theoretischer - insbesondere bei strahlenoptischer - Behandlung. Sie hat in guter Näherung nur eine Hauptebene, die zudem in ihrer Mittelebene angenommen werden kann. Ihre Brennpunktebenen (Fokus) sind folglich leicht anzugeben.

Materialien, Herstellung und Eigenschaften

Transparente Stoffe für eine Linse zur Verwendung bei sichtbarem Licht sind Glas, Kristalle und einige Kunststoffe (z. B. Polycarbonate, Polymethylmethacrylate, Cyclo-Olefin-(Co)polymere).

Rohlinge für Glaslinsen werden vorwiegend durch Pressen oder Gießen hergestellt. Sie werden auf den optisch wirksamen Flächen geschliffen und poliert und durch Schleifen auf dem Umfang zentriert. Bei geringeren Qualitätsanforderungen werden bei hohen Temperaturen gepresste Rohlinge direkt verwendet. Kunststofflinsen werden durch Spritzgießen oder Spritzprägen hergestellt.

Mit Hilfe der geometrischen Größen Durchmesser, Linsenradien, Mittendicke, ergänzt mit Herstelltoleranzen (z.B. Passfehlertoleranz resp. durchschnittlicher Wellenfrontfehler) und den Materialeigenschaften Brechungsindex, Abbesche Zahl und Spannungsdoppelbrechung, ergänzt durch Materialtoleranzen (z.B. Homogenität) werden die optischen Eigenschaften einer sphärischen Linse vollständig beschrieben.

Die wesentlichste Kenngröße einer Linse für ihre abbildende Funktion ist die Brennweite (Einheit: Meter), d. h. die Distanz zwischen Brennpunkt bzw. Brennebene und Hauptebenen. Der Kehrwert der Brennweite wird als Brechwert (Einheit: Dioptrien) angegeben. Der Durchmesser der nutzbaren Fläche einer Linse wird Öffnung oder Apertur genannt.

Eine wichtige Eigenschaft einer Linse ist das Prinzip von der Umkehrung des Lichtweges: Wenn ein von einer Seite einfallender Lichtstrahl entlang seines Weges verfolgt wird, so wird ein entgegengesetzt einfallender Lichtstrahl diesen Weg genau umgekehrt durchlaufen.

Geschichte

Linsen wurden erstmals Ende des 13. Jahrhundert als Sammellinsen in Lesebrillen zur Korrektur von Kurzsichtigkeit gebraucht. Die ersten optischen Apparate mit Linsen waren Mikroskop und Fernrohr, die Ende des 16. Jahrhunderts beziehungsweise Anfang des 17. Jahrhunderts erfunden wurden.

Verschiedene Linsenformen

Bezeichnung von Linsen nach Krümmung ihrer Flächen

Radien einer Sammellinse: +R₁ (R₁>0) ; −R₂ (R₂<0)

Radien einer Zerstreuungslinse: -R₁ (R₁<0) ; +R₂ (R₂>0)

Sphärische Linsen

Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diese Flächen mit ihrem Krümmungsradius R kennzeichnen.

Man unterscheidet:

• Sammellinsen mit zwei konvexen Flächen oder mit einer konvexen und einer ebenen Fläche, jedenfalls in der Mitte, im Bereich der optischen Achse, dicker als am Rand; ein Bündel parallel zur optischen Achse einfallender Lichtstrahlen wird idealerweise in einem Punkt hinter der Linse, dem Brennpunkt oder Fokus F, gesammelt. Ihre Brennweite f ist positiv.
• Zerstreuungslinsen mit zwei konkaven Flächen oder mit einer konkaven und einer ebenen Fläche, jedenfalls am Rand dicker als in der Mitte; ein Bündel von einfallenden Parallelstrahlen läuft hinter der Linse so auseinander, als käme es von einem Punkt auf der Einfallseite des Lichts. Die Brennweite ist negativ.

Daneben gibt es Linsen, die eine konkave und eine konvexe Fläche besitzen (Meniskuslinse); solche Linsen dienen oft zur Korrektur von Abbildungsfehlern (s. u.) in optischen Systemen mit mehreren Linsen. Sie sind Sammellinsen, falls die konvexe Fläche stärker gekrümmt ist, oder Zerstreuungslinsen, falls die konkave Fläche stärker gekrümmt ist.

Ein Bauelement mit zwei planen und parallelen optisch wirksamen Flächen heißt Planplatte oder planparallele Platte.

Für das Rechnen nach den Regeln der geometrischen Optik werden nach DIN 1011 die in Lichtrichtung aufeinander folgenden Radien mit R₁ und R₂ (mit R₃ und R₄ usw.) bezeichnet. Das zugehörige Vorzeichen unterscheidet nicht direkt zwischen konvexer und konkaver Fläche. Der Radius einer Fläche ist positiv definiert, wenn das Licht ihren Krünmmungsmittelpunkt später als die Fläche passiert. Bei umgekehrter Reihenfolge ist der Radius negativ definiert. In graphischen Darstellungen kommt das Licht konventionell von links (oder von oben).

Für die drei Flächen konvex, plan (eben) oder konkav ergeben sich folgende Vorzeichen:

• Konvexe Fläche (Sie ist nach außen gewölbt): +R₁ (R₁>0) oder −R₂ (R₂<0).
• Plane Fläche (Ihre Krümmung ist null): R = ±_∞.
• Konkave Fläche (Sie ist nach innen gewölbt): -R₁ (R₁<0) oder +R₂ (R₂>0).

Die durch die Krümmungsmittelpunkte verlaufende Gerade wird als optische Achse O bezeichnet. Ist eine der beiden Linsenflächen plan, so steht die optische Achse senkrecht auf ihr.

Sphärische Linsen führen prinzipbedingt zu Abbildungsfehlern, weil der Brennpunkt der Randstrahlen nicht mit dem Brennpunkt weiter innen liegender Strahlen übereinstimmt, gegebenenfalls auch abhängig von der Wellenlänge des Lichts. Um diese Fehler zu verringern, werden Linsensysteme (Anastigmate, Cooke-Triplet, Tessar u. a.) verwendet, die die Fehler weitgehend kompensieren.

Asphärische Linsen

Asphärische Linsen eignen sich, um durch sphärische Linsen verursachte Abbildungsfehler zu mindern. Sie sind rotationssymmetrisch, jedoch im Schnitt nicht kreisförmig. Die größere Zahl von Gestaltungsparametern im Vergleich zu sphärischen Linsen macht es möglich, Abbildungsfehler zu reduzieren. In konventionellen optischen Systemen werden Abbildungsfehler durch geeignete Kombination mehrerer sphärischer Linsen aus Materialien mit unterschiedlichem Brechungsindex korrigiert. Schon durch den Einsatz einer asphärischen Fläche lassen sich in einem solchen System 2 bis 3 sphärische Linsen einsparen. Nachteil asphärischer Linsen sind ihre vergleichsweise hohen Herstellungskosten.

Eine Alternative für asphärische Linsen sind Gradientenlinsen, in denen sich der Brechungsindex räumlich ändert.

Ideale Linse

Für zwei eingeschränkte Zwecke gibt es Linsenformen, die keinen Abbildungsfehler haben:

• Exaktes Bündeln parallel zur optischen Achse einfallenden Lichts in einem Punkt:
  Eine Möglichkeit ist, dass die dem einfallenden Licht zugewandten Fläche der Linse plan ist, und die abgewandte Seite die Form eines Hyperboloids hat. Für den halben Öffnungswinkel <math>\alpha</math> des zum Hyperboloid gehörenden Asymptotenkegels muss <math>n\cdot\cos\alpha=1</math> gelten, mit dem Brechungsindex <math>n</math> des Linsenmaterials. Die einfallenden Strahlen werden gerade in einem der beiden Hyperbelbrennpunkte gebündelt – in jenem mit dem größeren Abstand zum Scheitel der Linse.
• Gleich langer optische Weg für alle Strahlen, die in einem Punkt auf der optischen Achse entspringen bis zum gemeinsamen Bildpunkt:
  Die plane Fläche der Linse wird durch eine Sphäre um diesen Punkt und die hyperbolische Fläche durch ein kartesisches Oval ersetzt. Die Abbildung geschieht nach dem Fermatschen Prinzip. Für den Fall, dass benachbarte Punkte des Urbildes gleichmäßig auf benachbarte Punkte des Bildes abgebildet werden sollen, sind solche Überlegungen noch wesentlich komplexer.

Astigmatische Linsen

Zylinderlinse als Grenzfall einer astigmatischen Linse
A: Sammellinse, B: Zerstreuungslinse

Astigmatische Linsen haben in zwei senkrecht zueinander stehenden radialen Richtungen verschieden große Brennweiten. Grenzfall ist die Zylinderlinse, die in einer der beiden Richtungen planparallele Oberflächenkonturen hat und in ihrer typischen Form tatsächlich ein Zylinderabschnitt ist: eine zylindrische und eine plane Oberfläche. Sie bündelt parallel einfallendes Licht auf einer Brennlinie.

Astigmatische Linsen werden u. a. in folgenden Fällen eingesetzt:

• Brillengläser, die Astigmatismus der Augenlinse ausgleichen (eine zylindrische Fläche, die andere oft sphärisch, um zusätzlich Kurz- oder Weitsichtigkeit auszugleichen),
• Breitwand-Kinoprojektoren und -Filmkameras enthalten eine Zylinderlinse, um das Bild bei Breitwandformat platzsparend auf das normale Bildformat des Kinofilms abzubilden und bei der Projektion wieder zu entzerren (Anamorphot) (Cinemascope, Totalvision und ähnliche),
• Kollimation der Strahlung von Laserdioden, die aufgrund ihres Aufbaus eine nicht kreissymetrische Divergenz besitzen.

Elastische Linsen

Der Begriff „Elastische Linse“ bezeichnet ein optisches Element, das seine Brechkraft durch die Verformung eines elastischen Festkörpers ändert. Es ergeben sich aus dem Funktionsprinzip folgende Vorteile:

• Die Form der Grenzfläche ist frei wählbar (sphärisch, asphärisch)
• Die Größe der Brechkraftänderung ist bei Verwendung von Gummimaterialien sehr groß (ca. 15 dpt)
• Die Geschwindigkeit der Verformung kann sehr schnell erfolgen

Brennweite und Hauptebenen

Die für eine optische Abbildung benutzte lichtbrechende Eigenschaft einer Linse hängt vom Brechungsindex ihres Materials und von der Form ihrer Grenzflächen ab. Beides zusammen drückt die Brennweite aus. Zusätzlich sind zwei sogenannte Hauptebenen anzugeben, je eine gegenstands- und eine bildseitige als Bezugsebene für die gegenstands- bzw. die bildseitige Brennweite. Die beiden Brennweiten unterscheiden sich aber nur, wenn das optische Medium vor der Linse nicht mit dem nach der Linse identisch ist. Im allgemeinen Fall befindet sich Luft auf beiden Seiten.

Sowohl die Brennweiten als auch die Hauptebenen sind ideale Größen, die sich beim Arbeiten nach dem Konzept der paraxialen Optik ergeben. Innerhalb dieses Konzeptes lassen sie sich aus den Material- und den geometrischen Eigenschaften theoretisch angeben, das heißt errechnen. Die Brechung wird an jeder der beiden Grenzflächen getrennt untersucht. Anschließend werden die Ergebnisse und die gegenseitige Lage der Flächen zu Gleichungen für die Größe der Brennweiten und die Lage der Hauptebenen zusammen gefasst.

Brechung an einer einzelnen sphärischen Grenzfläche

Brechung an einer einzelnen Grenzfläche

Gemäß paraxialer Betrachtung sind die Winkel <math>\alpha'=\delta,\beta'</math> klein. Sowohl ihr Tangens- als auch ihr Sinuswert kann mit dem jeweiligen Bogenmaß gleich gesetzt werden. <math>x</math> ist vernachlässigbar klein.

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz

<math>n_1\sin\alpha'=n_2\sin\beta'</math>

und einer trigonometrischen Umformung ergibt sich für die bildseitige Brennweite

<math>f_2=R\frac{n_2}{n_2-n_1}</math> .

In allgemein üblicher Schreibweise ist das

<math>f'=r\frac{n'}{n'-n}</math> .^[1][2]

Für die gegenstandsseitige Brennweite sind die Brechungsindices zu vertauschen, da von rechts kommendes Licht links gesammelt wird.

<math>f=r\frac{n}{n-n'}</math> .

Die Hauptebene geht durch den Scheitelpunkt der sphärischen Fläche.

Brechung an einer Linse

Brennpunkt und bildseitige Hauptebene für zwei Flächen

Bei einer Linse erfolgt die Brechung an zwei in der Regel sphärischen Grenzflächen. Die gemeinsame Brennweite lässt sich finden unter Beachtung folgender Vorgaben:^[3]

• Die Abbildung des bildseitigen Brennpunkts der ersten Fläche durch die zweite Fläche ist der bildseitige Brennpunkt der Linse, denn alle einfallenden parallelen Strahlen passieren sowohl den einen als auch den anderen Punkt (roter Linienzug in nebenstehender Abbildung).
• Die Verlängerung eines achsparallelen einfallenden Strahles schneidet sich mit dem gebrochen durch die Linse gehenden Strahl in der bildseitigen Hauptebene der Linse (unterbrochene Linie in nebenstehender Abbildung). Dem liegt die Definition der Hauptebenen zugrunde, dass der Abbildungsmassstab zwischen ihnen 1 ist.

Ein Grundzusammenhang in der optischen Abbildung ist im Winkelverhältnis <math>\gamma</math> enthalten:

<math>\gamma_2=\frac{\tan\sigma_2}{\tan\sigma'_2}= \frac{f'_2}{t}</math> .^[4]

Damit lässt sich der Punkt P finden, durch den der rote Linienzug führen muss.

Die Gleichung für die bildseitige Brennweite der Linse lautet mit den Brennweiten <math>f'_2, f_2</math> und <math>f'_1</math> der beiden Flächen und ihrem gegenseitigen Abstand <math>d</math>:

<math>f'=\frac{f'_1 f'_2}{d-f'_1-f_2}</math> .^[5]

Der Brechungsindesx vor und nach der Linse sei gleich und betrage <math>n</math> . Der Brechungsindex des Linsenmaterials ist  <math>n'</math> . Die Brennweiten einer Fläche sind oben hergeleitet und lauten:   <math>f_1'=r_1\frac{n'}{n'-n}</math> ,   <math>f_2'=r_2\frac{n}{n-n'}=-r_2\frac{n}{n'-n}</math> ,   <math>f_2=r_2\frac{n'}{n'-n}</math> .
Mit diesen Angaben lautet das Schlussergebnis für die Brennweiten:

<math>\frac{1}{f'} = \frac{1}{f} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) + \frac{(n'-n)^2d}{n' n r_1 r_2} </math> .

Die Brennweiten sind Funktionen des Linsenmaterials (<math>n'/n</math>) und der Linsengeometrie (Radien der Grenzflächen und Dicke).

Linse, allgemein: Gleichungen u.a. für Brennweite/n (1) und Lage der Hauptebenen (3) und (2)
ausgeführte Linse: Rechenergebnisse für Brennweiten und Lage der Hauptebenen

Wenn die Linse relativ dünn ist  (<math>d \ll r_1, r_2 </math> ;   bei der dünnen Linse ist definitionsgemäß <math>d=0</math> ), verkürzt sich obige Gleichung zu

<math>\frac{1}{f} = \frac{1}{f'} =\frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)</math> .

Mit den oben genannten Vorgaben ist auch die Lage der Hauptebenen bestimmt.

Die Entfernung der bildseitigen Hauptebene <math>H'</math> vom Scheitelpunkt <math>H_2</math> ( <math>S_2</math>  in nebenstehender Abbildung) der bildseitigen Fläche ist

<math>\overline{H_2H'}=\frac{f'_2d}{d-f'_1-f_2}</math> .^[6]

Analoges gilt auf der Gegenstandsseite:

<math>\overline{H_1H}=\frac{-f_1d}{d-f'_1-f_2}</math> .

Wenn die Linse relativ dünn ist  (<math>d \ll f'_1, f_2 </math> ), werden diese Abstände zu Null. Die Hauptebenen verbleiben auf den Scheiteln der Flächen.

Nebenstehende Abbildung enthält die Ergebnisse, nachdem die oben angegebenen Ausdrücke für die Brennweiten der Flächen eingesetzt wurden (Gleichungen (3) und (2); mit  <math>n=1</math> und <math>n'=n</math> ).

Die Lagen der Hauptebenen sind wie die Brennweiten Funktionen des Linsenmaterials (<math>n'/n</math>) und der Linsengeometrie (Radien der Grenzflächen und Dicke).

Mehrere Linsen und zusammengesetzte Linsen

Optische Systeme (Mikroskope, Fernrohre, Objektive) enthalten mehrere Linsen. Ihnen können als Einheit Brennweiten und Hauptebenen zugeordnet werden.

Um Abbildungsfehler zu vermindern, werden häufig auch theoretisch als Einzellinsen denkbare Komponenten aus mehreren Linsen zusammengesetzt. Wenn zwei Berührungsflächen die gleiche Krümmung besitzen, werden diese zwei Einzellinsen miteinander verkittet. Wenn die Einzellinsen dünn sind, ist auch der Abstand zwischen ihnen klein, so dass die Kombination selbst wie eine dünne Linse behandelt werden kann.

Oberflächenvergütung

Bei einer realen Linse wird ein Teil des Lichtes an der Oberfläche reflektiert. Durch Oberflächenvergütung kann dieser Effekt minimiert werden.

Andere Linsentypen

• Flüssiglinse
• Fourierlinse
• Fresnellinse: Dient dem parallelen Ausrichten eines Lichtstrahls, etwa im Tageslichtprojektor oder im Leuchtturm. Auch Scheinwerfer nutzen ihr Prinzip. Auch Lupen können als Fresnellinse ausgeführt werden.
• Gaslinse: die durch die Dichte beeinflusste optische Dichte von Gasen wird genutzt, um hochenergetische Laserstrahlung zu fokussieren. Hierzu wird das Licht durch ein rotierendes Rohr geleitet, in dem das mitbewegte Gas aufgrund des Bernoulli-Effekts Linseneigenschaften annimmt.
• Gravitationslinse: Kann durch ein massereiches astronomisches Objekt wie etwa ein Schwarzes Loch gebildet werden. Vereinzelt werden dadurch ferne Galaxien als Kreisbögen oder in mehrere Punkte verzerrt.
• Diffraktive optische Elemente (DO-Glieder) werden vereinzelt in Objektiven für Spiegelreflexkameras eingesetzt.

Aufgrund der Wellennatur der Materie kann man auch mit Teilchen Optik betreiben. Eine Anwendung geschieht im Elektronenmikroskop, wo speziell angeordnete elektrische Felder und magnetische Felder Elektronen fokussieren und ablenken. Das Gleiche geschieht auch in Teilchenbeschleunigern in der Kern- und Hochenergiephysik.

Weiterführendes und Quellen

Siehe auch

• Spiegel
• Linsengleichung

Literatur

• Heinz Haferkorn: Optik. 4. Auflage, WILEY-VCH, Weinheim 2003 ISBN 3-527-40372-8.
• Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optik, Springer, Berlin 1988 ISBN 3-540-18911-4.
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2 – Elektrizität und Optik. 2. Auflage, Springer, Berlin 2002 ISBN 3-540-65196-9.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 189
2. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 190. Die Ableitung erfolgt hier unter Anwendung der Abbeschen Invariante, die den Zusammenhang zwischen den gegenstandsseitigen und bildseitigen Schnittweiten der Paraxialstrahlen herstellt.
3. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 198
4. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 199
5. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 198 und 207. Im Unterschied zu Haferkorn werden die Brennweiten hier ohne Vorzeichen geschrieben. Bei den Radien ist die oben genannte Vorzeichenregel zu beachten.
6. ↑ Heinz Haferkorn: Optik: Physikalisch-technische Grundlagen und Anwendungen, Barth, 1994, ISBN 3-335-00363-2, S. 200

Weblinks

 Commons: Linse – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

• Brillenglas-Kompendium Umfassende Infos zu Brillenglas-Grundlagen
• www.wissenschaft.de: Erst abdrücken, dann scharfstellen – Mikrolinsen ermöglichen scharfe Bilder ohne vorheriges Fokussieren
• Linsentypen, deren Eigenschaften und Anwendungsbeispiele – Gute Gesamtübersicht mit kurzer Erläuterung zu Abbildungsfehlern (PDF-Datei; 183 kB)
• Fachstelle der Wasser und Schifffahrtsverwaltung für Verkehrstechniken Linsen und Optiken für Leuchtfeuer
• Uni Basel, imaging & media lab: Skript – Optik und Kamera (ideale Linse Teil 3 und Teil 4)
• Interaktive Simulation einer optischen Bank (benötigt Java)
• Simulation einer Sammellinse als Video