Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) ist in der Physik ein Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols und analog zum elektrischen Dipolmoment definiert.

Für eine allgemeine Stromdichteverteilung <math>j (\vec{r})</math> ist es gegeben durch:

<math> \vec{m} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^3r \vec{r} \times \vec{\jmath}(\vec{r}) </math>.

Für Teilchen mit Spin <math>\vec s</math> beträgt es:

<math> \vec{m} = \gamma \cdot \vec{s} </math>,

wobei <math>\gamma</math> gyromagnetisches Verhältnis genannt wird.

Die Einheit des magnetischen Moments lautet im SI-System A·m², multipliziert mit der Permeabilität lautet sie T·m³.

Beispiele

Ebene Leiterschleife

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt <math>\vec{\jmath}(\vec{r}) \; \mathrm{d}^3r = I \; \mathrm{d}\vec{r}</math>. Dabei bezeichnet <math>\vec{\jmath}(\vec{r})</math> die Stromdichte am Ort <math>\vec{r}</math>, <math>I</math> die Stromstärke durch die Leiterschleife, <math>\int \mathrm{d}^3r</math> ein Volumenintergral und <math>\int \mathrm{d}\vec{r}</math> ein Wegintegral entlang der Leiterschleife. Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

<math>\vec{m} = \frac{I}{2} \int_C (\vec{r} \times \mathrm{d}\vec{r}) = I\cdot \vec{A} = IA \vec{e}</math>.

Dabei ist <math>A</math> die Querschnittsfläche und <math>I</math> die Stromstärke.

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl <math>n</math>, Stromstärke <math>I</math> und Fläche <math>A</math>

<math>

\vec{m}=n\;I\;\vec{A}. </math>

Die Kenntnis des magnetischen Moments eines magnetischen Dipols erlaubt die Berechnung des auf ihn in einem externen Magnetfeld wirkenden Drehmoments <math>\vec{M}</math> als Kreuzprodukt mit der magnetischen Flussdichte <math>\vec{B}</math>

<math>

\vec{M}=\vec{m} \times \vec{B}. </math>

Dadurch kann zum Beispiel das Drehmoment eines Elektromotors berechnet werden.

Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin <math>\vec{s}</math> besitzen ein magnetisches Moment, das oft mit <math>\vec{\mu}</math> bezeichnet wird. Für ein Teilchen mit der Ladung <math>q</math> und Masse <math>m</math> besteht folgender Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und Spin:

<math>\vec{\mu} = g \, \frac{q}{2\,m} \vec{s}</math>

mit dem Landé-Faktor <math>g</math>. Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor des Elektrons exakt 2, quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa 2,0023 vorhergesagt. Präzise Messungen stimmen damit hervorragend überein und bestätigen so die QED.

Mit dem Magneton

<math>\mu = \frac{q}{2\,m} \hbar</math>

(in dieser Formel wird nicht das SI-Einheitensystem verwendet, sondern das auf diesem Gebiet der Physik gebräuchlichere Gaußsche Einheitensystem, siehe auch elektromagnetische Einheiten)

läßt sich das magnetische Moment auch schreiben als:

<math>\vec{\mu} = g \, \frac{\mu}{\hbar} \vec{s}</math>.

Für Atomkerne fasst man die Faktoren vor dem Spin zusammen zum gyromagnetischen Verhältnis <math>\gamma </math> (auch magnetogyrisches Verhältnis genannt):

<math> g \, \frac{\mu_{\mathrm{K}}}{\hbar} = \gamma </math>.

Es ist eine charakteristische Konstante jeder Atomsorte. Die Bezeichnung gyromagnetisches Verhältnis ist besonders in der NMR-Spektroskopie gebräuchlich.

Hierbei ist <math>\mu_{\mathrm{K}} = \mu_{\mathrm{N}}</math> das Kernmagneton bzw. Nukleonmagneton. Davon zu unterscheiden ist das Magneton <math>\mu_{\mathrm{p}}</math> des Protons mit <math>\mu_{\mathrm{p}} = 2,79\mu_{\mathrm{K}} = 2,79 \mu_{\mathrm{N}}</math>.

Nun ist

<math>\vec{\mu} = \gamma \vec{s}</math>.

Auch das äußerlich neutrale Neutron hat ein von Null verschiedenes magnetisches Moment. Dies weist darauf hin, dass das Neutron kein „elementares“ Teilchen, sondern zusammengesetzt ist.

Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols

Ein magnetischer Dipol <math>\vec{m}</math> am Koordinatenursprung führt am Ort <math>\vec{r}</math> zu einer magnetischen Flussdichte

<math>\vec{B}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r}) - \vec{m}r^2}{r^5}</math> .

Sowohl Rotation als auch Divergenz dieses Feldes verschwinden. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

<math>\vec{A}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}</math> ,

wobei <math>\vec{B}=\nabla\times\vec{A}</math> ist.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.