|
Lexikon auf Ihrer Homepage |
|
Lexikon als Lesezeichen hinzufügen |
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Martingal ein stochastischer Prozess, bei dem der bedingte Erwartungswert einer Beobachtung gleich dem Wert der vorigen Beobachtung ist.
In die Mathematik wurden Martingale von Paul Pierre Lévy eingeführt.
Inhaltsverzeichnis |
Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> sei eine Folge <math>(M_0, M_1, \ldots)</math> integrierbarer Zufallsvariablen gegeben, d. h., für alle <math>n \in \N_0</math> gelte <math>E(|M_n|) < \infty</math>. Diese Folge heißt ein Martingal, wenn für alle <math>n \in \N_0</math> der bedingte Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung <math>M_{n+1}</math> gleich dem zuletzt beobachteten Wert ist, also
Diese Bedingung kann so interpretiert werden, dass ein Martingal ein faires Spiel ist, da der Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung gleich der letzten getätigten Beobachtung ist. Wenn der Wert eines Martingals zum Zeitpunkt <math>n</math> bekannt ist, dann ist der Erwartungswert zukünftiger Beobachtungen nicht von Werten abhängig, die vor <math>n</math> beobachtet wurden. Damit gilt noch nicht zwingend die Markow-Eigenschaft, dass die Verteilung von <math>M_{n+1}</math> lediglich von <math>M_n</math> abhängt. Zum Beispiel kann die Streuung des Martingals auch von Beobachtungen vor <math>n</math> abhängen.
Die Information, die zum Zeitpunkt <math>n</math> über den stochastischen Prozess <math>(M_n)_{n\in\N_0}</math> bekannt ist, kann allgemeiner durch eine Filtrierung gegeben sein. Eine Filtrierung ist eine Folge <math>(\mathcal F_n)_{n\in\N_0}</math> von σ-Algebren, die aufsteigend geordnet ist, d. h. für alle <math>n \in \N_0</math> gilt <math>\mathcal F_n \subseteq \mathcal F_{n+1}</math>. Der integrierbare Prozess <math>(M_n)_{n\in\N_0}</math> heißt Martingal bezüglich der Filtrierung <math>(\mathcal F_n)_{n\in\N_0}</math>, wenn gilt:
Der oben betrachtete Fall eines Martingals „schlechthin“ ist in dieser Definition enthalten. Man wähle dazu für <math>\mathcal F_n</math> die von <math>M_0, \dots, M_n</math> erzeugte σ-Algebra <math>\sigma(M_0, \dots, M_n)</math>.
Sei <math> (M_t)_{t \in T} </math> ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> mit einer beliebigen, geordneten Indexmenge <math>T</math>.
<math> (M_t)_{t \in T} </math> heißt ein Martingal bezüglich einer Filtrierung <math>(\mathcal{F}_t)_{t \in T}</math>, wenn gilt:
Der zeitdiskrete Fall ist in dieser allgemeinen Definition für <math>T = \N_0</math> enthalten, denn aus <math>E(M_{n+1} \mid \mathcal F_n) = M_n</math> für alle <math>n \in \N_0</math> folgt induktiv <math>E(M_{m} \mid \mathcal F_n) = M_n</math> für alle <math>m,n \in \N_0</math> mit <math>n \leq m</math>. Besonders wichtig ist weiterhin der Fall <math>T = [0,\infty)</math> beliebiger nichtnegativer Zeitpunkte als Indexmenge.
Als Submartingal bezeichnet man einen adaptierten und integrierbaren stochastischen Prozess <math>X_t</math>, der im Gegensatz zum Martingal tendenziell steigt:
<math>E(X_t \mid \mathcal{F}_s) \geq X_s \;\; \mbox{für alle} \; s<t</math>
Dementsprechend ist ein Supermartingal ein adaptierter und integrierbarer stochastischer Prozess <math>X_t</math>, der tendenziell fällt:
<math> E(X_t \mid \mathcal{F}_s)\leq X_s\;\; \mbox{für alle} \; s<t</math>
Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu <math>M_0</math> das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit <math>X_1</math> bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt <math>M_1 = M_0 + X_1</math> und allgemein nach dem <math>n</math>-ten Spiel
wenn <math>X_k</math> den Gewinn im <math>k</math>-ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt <math>E(X_k) = 0</math> für alle <math>k\in\N</math>.
Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt <math>n</math> einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände <math>M_0, M_1, \dots, M_n</math> seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im <math>n+1</math>-ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital <math>M_{n+1} = M_n + X_{n+1}</math> nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte zu
Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.
Bei realen Gücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also <math>E(X_k) < 0</math>. Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung
Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).
Ist die quadratische Variation <math>\langle M\rangle</math> eines stetigen beschränkten Martingals <math>M_t</math> (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess
ebenfalls ein Martingal.
Ebenso ist das sog. Exponentialmartingal von <math>M_t</math>, gegeben durch
ein Martingal.
Die Martingale ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht, im einfachsten Fall verdoppelt wird, so dass im hypothetischen Falle unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit, und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.[1]
Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.[2]
Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem Provenzalischen und leitet sich von der französischen Stadt Martigues im Departement Bouches du Rhone am Rande der Camargue ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck jouga a la martegalo bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.
Der „Martingal“ genannte Hilfszügel soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hiebei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt[3] – und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.
