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Der Mittelwertsatz ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis (Mathematik).
Veranschaulicht lässt sich der Mittelwertsatz geometrisch so deuten, dass es unter den unten genannten Voraussetzungen zwischen zwei Punkten eines Funktionsgraphen mindestens einen Kurvenpunkt gibt, für den die Tangente parallel zur Sekante durch die beiden gegebenen Punkte ist.
Die Aussage des Satzes lässt sich sowohl auf den Quotienten zweier Funktionen übertragen als auch auf Funktionen mehrerer Variablen anwenden.
Es sei <math>f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[a,b]</math> (mit <math>a < b</math>) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion <math>f</math> im offenen Intervall <math>(a,b)</math> differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein <math>x_0 \in (a,b)</math>, so dass
gilt.
Geometrisch gedeutet bedeutet dies, dass die Sekantensteigung an mindestens einer Zwischenstelle als Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion auftritt.
Es sei eine Hilfsfunktion <math>h: [a,b] \to \mathbb{R}</math> definiert, mit
<math>h</math> ist stetig in <math>[a,b]</math> und in <math>(a,b)</math> differenzierbar. Wie man leicht sieht, ist <math>h(b)=f(a)=h(a)</math>.
Nach dem Satz von Rolle existiert daher ein <math>x_0\in (a,b)</math> mit <math>h'\left(x_0\right)=0</math>. Da
folgt die Behauptung.
Als typische Anwendung des Mittelwertsatzes kann man zeigen, dass
für alle <math>a,b \in \R</math> gilt: Ohne Einschränkung können wir <math>a<b</math> annehmen. Da die Sinusfunktion im Intervall <math>[a,b]</math> differenzierbar ist, existiert nach dem Mittelwertsatz ein <math>x_0 \in (a,b)</math>, so dass
gilt. Wegen <math>\left| \cos x\right|\le 1</math> für alle <math>x\in \R</math>, erhält man
\left| \sin b - \sin a \right| = \left| \cos x_0\right| \left| b-a\right| \le \left| b-a\right|\,.
</math> Allgemein kann so nachgewiesen werden, dass stetig differenzierbare Funktionen lokal Lipschitz-stetig sind.
Der Mittelwertsatz lässt sich in folgender Weise verallgemeinern:
Es seien <math>f: [a,b] \to \mathbb{R}</math> und <math>g: [a,b] \to \mathbb{R}</math> zwei Funktionen, die auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[a,b]</math> (mit <math>a < b</math>) definiert und stetig und auf dem offenen Intervall <math>(a,b)</math> differenzierbar sind. Unter diesen Voraussetzungen existiert mindestens ein <math>x_0 \in (a,b)</math>, so dass
gilt.
Wird zusätzlich <math>g'(x)\ne 0</math> auf dem Intervall <math>[a,b]</math> vorausgesetzt, so ist insbesondere <math>g'(x_0)\ne 0</math> sowie <math>g(a)\ne g(b)</math> und man kann den erweiterten Mittelwertsatz in der üblichen Bruchform schreiben,
In der mehrdimensionalen Analysis lautet der Mittelwertsatz wie folgt:
Es sei <math>{f}</math> eine Abbildung mit <math>f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}</math>, weiter sei <math>f</math> differenzierbar auf einer offenen Menge <math>G \subseteq D(f)</math>. Außerdem seien <math>\vec x_1, \vec x_2 \in G</math> mit <math>\vec x_1 \neq \vec x_2</math> und ihre Verbindungsstrecke <math>\overline{x_1 x_2} \subseteq G</math>. Dann existiert mindestens ein <math>\vec x_0 \in \overline{x_1 x_2}</math> mit <math> \vec x_0 \neq \vec x_1</math> und <math>\vec x_0 \neq \vec x_2 </math> und es gilt:
Für <math>n = 1</math> entspricht der Satz dem oben erwähnten Mittelwertsatz der eindimensionalen Differentialrechnung. <math>\nabla f(\vec x_0)</math> bezeichnet hierbei den Gradienten an der Stelle <math>x_0</math>, der in einem Skalarprodukt auftritt.
Geometrisch gedeutet, tritt die Sekantensteigung zwischen <math>f(\vec x_1)</math> und <math>f(\vec x_2)</math> an mindestens einer Stelle aus <math>\overline{x_1 x_2}</math> als Steigung in Richtung des Vektors <math>(\vec x_2 - \vec x_1)</math> auf.
Betrachtet man die Funktion <math>h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> mit
so ist <math>h</math> stetig auf <math>[0,1]</math> und differenzierbar auf <math>(0,1)</math>. Somit folgt aus dem Mittelwertsatz der eindimensionalen Analysis, dass ein <math> y_0</math> derart existiert, dass
Aus der Kettenregel folgt nun:
Dies lässt sich folgendermaßen zusammenfassen:
Substituiert man nun <math>\vec x_1 + y_0 \cdot (\vec x_2 - \vec x_1)</math> durch <math>\vec x_0</math>, so ergibt sich
womit die Aussage des Satzes bewiesen wäre.
Eine Ausdehnung des Satzes auf Funktionen <math>f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}</math> ist nur unter veränderten geometrischen Voraussetzungen bzw. Verschärfungen möglich. Insbesondere wird der Pool der in Frage kommenden linearen Abbildungen erheblich über die Ableitungen auf der Strecke <math>\overline{x_1 x_2}</math> hinaus erweitert:
Falls die Ableitungen von <math>f</math> auf der gesamten Strecke <math>\overline{x_1 x_2}</math> beschränkt sind (es handelt sich um Jacobimatrizen, also beschränkt bezüglich einer Norm auf <math>\mathrm{Hom}(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})</math>, zum Beispiel der Operatornorm), so gibt es eine lineare Abbildung <math>A</math> aus der abgeschlossenen konvexen Hülle der Ableitungen auf der Verbindungsstrecke, sodass
A =\int_0^1D\!f\left(\vec x_1+t\left(\vec x_2-\vec x_1\right)\right)\,\mathrm dt\in \overline{\mathrm{conv}} \left\{ D\!f(x) \big| \vec x \in \overline{x_1 x_2} \right\}</math>
gilt.
Der Beweis hierfür erfordert einige Vorarbeit, u. a. die Hahn-Banach’schen Trennungssätze, folgt aber letztlich dem Prinzip der Rückführung auf den reellwertigen Fall. Warum die Ableitungen auf der Strecke <math>\overline{x_1 x_2}</math> nicht ausreichen, kann man folgendermaßen verstehen: Auf die einzelnen Komponenten <math>f_i</math> der vektorwertigen Funktion <math>f = (f_1,f_2,\dots, f_m)</math> kann einerseits der Mittelwertsatz für reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher angewandt werden. Andererseits ist keinesfalls gewährleistet, dass die zugehörige Stelle auf <math>\overline{x_1 x_2}</math>, an der die passende Ableitung gefunden wird, für alle Komponentenfunktionen dieselbe ist. Man muss sich daher in einer größeren Menge umschauen, eben der konvexen Hülle der Ableitungen auf der Strecke.
Beschreibt die Funktion beispielsweise eine Strecke in Abhängigkeit von einer Zeit, dann ist die Ableitung die Geschwindigkeit. Der Mittelwertsatz besagt dann: Auf dem Weg von A nach B muss man mindestens zu einem Zeitpunkt so schnell gewesen sein wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit.
