|
Lexikon auf Ihrer Homepage |
|
Lexikon als Lesezeichen hinzufügen |
In der Informatik bezeichnet man ein Problem als NP-vollständig (nichtdeterministisch polynomielle Vollständigkeit), wenn
Der erste der beiden Punkte drückt aus, dass das Problem in der Komplexitätsklasse NP liegt. Durch diese Definition wird auch die Klasse NP-C der NP-vollständigen Probleme definiert. Die Eigenschaften dieser und anderer Klassen werden in der Komplexitätstheorie erforscht, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik.
Eine wesentliche Eigenschaft NP-vollständiger Probleme ist, dass sie sich vermutlich nicht effizient lösen lassen, dass also ihre Lösung auf realen Rechnern viel Zeit in Anspruch nimmt. In der Praxis wirkt sich diese Eigenschaft nicht in jedem Fall negativ aus, das heißt, es gibt für viele NP-vollständige Probleme Lösungsverfahren, anhand derer sie für in der Praxis auftretende Größenordnungen in akzeptabler Zeit lösbar sind.
Viele in der Praxis auftauchende und wichtige Probleme sind NP-vollständig, was NP-Vollständigkeit zu einem zentralen Begriff der Informatik macht. Weiter verstärkt wird diese Bedeutung durch das sogenannte P-NP-Problem:
Seit der Einführung der NP-Vollständigkeit durch Cook wurde die Vollständigkeit zu einem allgemeinen Konzept für beliebige Komplexitätsklassen ausgebaut.
Inhaltsverzeichnis |
Der Begriff der NP-Vollständigkeit wurde 1971 von Stephen A. Cook in seinem heute so genannten Satz von Cook eingeführt. Die wesentliche Leistung von Cook bestand zunächst darin, den Nachweis erbracht zu haben, dass es ein NP-vollständiges Problem überhaupt gibt. Heute existieren wesentlich einfachere Nachweise für die Existenz solcher Probleme, allerdings sind die dafür verwendeten Sprachen sehr künstlich. Cooks Verdienst besteht also auch darin, für eine besonders interessante Sprache diesen Nachweis erbracht zu haben.
Aufbauend auf der Arbeit von Cook konnte Richard Karp im Jahre 1972 eine weitere bahnbrechende Arbeit vorlegen, die der Theorie der NP-Vollständigkeit zu noch größerer Popularität verhalf. Karps Verdienst besteht darin, die Technik der Polynomialzeitreduktion konsequent genutzt zu haben, um für weitere 21 populäre Probleme die NP-Vollständigkeit nachzuweisen.
Ein Problem (genauer: ein Entscheidungsproblem) L heißt NP-vollständig genau dann, wenn:
Letztere Bedingung bedeutet, dass jedes Problem in NP durch eine Polynomialzeitreduktion auf L reduziert werden kann.
Der Nachweis der ersten Eigenschaft für ein gegebenes Problem ist in aller Regel einfach. Man „rät“ eine Lösung und zeigt, dass man in Polynomialzeit verifizieren kann, ob die Lösung wirklich zutrifft. Im Raten der (korrekten) Lösung findet sich der Nichtdeterminismus wieder.
Der Nachweis der zweiten Eigenschaft, die man für sich allein mit NP-Schwierig (oder durch falsche Rück-Übersetzung aus englisch 'NP-hard' mit NP-Hart) bezeichnet, ist schwieriger. Insbesondere bereitet es Probleme, eine Aussage für beliebige Probleme in NP zu zeigen. Daher nimmt man gewöhnlich ein ähnliches Problem, für das die NP-Vollständigkeit schon bekannt ist, und reduziert es auf dasjenige Problem, für das die Eigenschaft der NP-Schwere gezeigt werden soll. Aus der Transitivität von Polynomialzeitreduktionen folgt dann, dass alle anderen Probleme aus NP ebenfalls auf das betrachtete Problem reduzierbar sind.
Die obige Definition erfordert streng genommen einen Existenzbeweis. Es ist nicht sofort ersichtlich, dass derartige Probleme überhaupt existieren. Es lässt sich aber leicht ein solches Problem konstruieren. Allerdings ist ein derart konstruiertes Problem kaum praxisrelevant. Cook konnte jedoch zeigen, dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik NP-vollständig ist, und hat damit für ein praxisrelevantes Problem den Nachweis geführt. Dieser Beweis konnte im Gegensatz zu anderen Problemen natürlich noch nicht wie oben dargestellt über die Transitivität von Polynomialzeitreduktionen geführt werden und musste direkt erfolgen.
NP-Vollständigkeit ist nur für Entscheidungsprobleme definiert, also für solche Probleme, die sich auf das Wortproblem einer formalen Sprache zurückführen lassen, für die als Antwort also nur entweder Ja oder Nein in Frage kommt. Für Optimierungsprobleme und Suchprobleme gibt es die Bezeichnung der NP-Äquivalenz.
Probleme, die in NP liegen, lassen sich weiter in ihrer Komplexität unterteilen, je nach dem, wie gut sie sich approximativ lösen lassen. Das Graphen-Färbungsproblem ist beispielsweise nur sehr schlecht approximierbar, während sich andere Probleme beliebig gut mittels so genannter Approximationsschemata approximieren lassen.
Die NP-vollständigen Probleme können weiterhin eingeteilt werden in
Ein NP-vollständiges Problem heißt stark NP-vollständig, falls es auch dann noch NP-vollständig ist, wenn die Eingabe nur aus Zahlen besteht, deren Größe im Verhältnis zur Eingabelänge polynomiell beschränkt ist. Andernfalls heißt das Problem schwach NP-vollständig. Schwache NP-Vollständigkeit bedeutet, dass für entsprechende Probleme pseudopolynomielle Algorithmen existieren können. Dies sind Algorithmen, deren Laufzeit polynomiell ist, wenn die Größe aller in der Eingabe vorkommenden Zahlen polynomiell in der Eingabelänge beschränkt ist. Für stark NP-vollständige Probleme gibt es – unter der Annahme NP ungleich P – keine derartigen Algorithmen.
Ein Beispiel für ein Problem, für das ein pseudopolynomieller Algorithmus existiert, ist das Rucksackproblem[1]. Durch Algorithmen, die auf dem Prinzip der dynamischen Programmierung basieren, kann eine Laufzeit, die mit O(n*V) beschränkt ist, erreicht werden. Die Rechenzeit ist somit polynomiell, falls die Zahl V (die Schranke für den maximal erlaubten Nutzwert) im Verhältnis zur Eingabelänge n nur polynomiell groß ist.
