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Eine Norm ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die GröĂe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von âGröĂeâ hĂ€ngt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die LĂ€nge eines Vektors, den gröĂten SingulĂ€rwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche <math>\| \cdot \|</math> links und rechts des Objekts symbolisiert.
Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums ĂŒber den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften Definitheit, absolute HomogenitĂ€t und SubadditivitĂ€t besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Wird ein Vektorraum mit einer Norm versehen, erhĂ€lt man einen normierten Raum mit weitgehenden Eigenschaften, da jede Norm auf einem Vektorraum auch eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Zwei zueinander Ă€quivalente Normen induzieren dabei die gleiche Topologie, wobei auf endlich-dimensionalen VektorrĂ€umen alle Normen zueinander Ă€quivalent sind.
Normen werden insbesondere in der Linearen Algebra und in der Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der Numerischen Mathematik eine wichtige Rolle.
Inhaltsverzeichnis |
Eine Norm ist eine Abbildung <math>\|\cdot\|</math> von einem Vektorraum <math>V</math> ĂŒber dem Körper <math>\mathbb K</math> der reellen oder der komplexen Zahlen in die nichtnegativen reellen Zahlen <math>{\mathbb R}_{+}</math>,
die fĂŒr alle Vektoren <math>x, y\in V</math> und alle Skalare <math>\alpha\in\mathbb K</math> die folgenden drei Eigenschaften (Axiome) besitzt:
Hierbei bezeichnet <math>|\cdot|</math> den Betrag des Skalars.
Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt.[1][2] Das heute ĂŒbliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand <math>\|x-y\|</math> zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> verwendet.[3]
Das Standardbeispiel einer Norm ist die Euklidische Norm, die der anschaulichen LĂ€nge eines Vektors (mit Ursprung im Nullpunkt) in der Ebene oder im Raum entspricht. Beispielsweise ist die Euklidische Norm des Vektors <math>(1,1)</math> nach dem Satz des Pythagoras gleich <math>\sqrt{2}</math>. Die Definitheit bedeutet dann, dass, wenn die LĂ€nge eines Vektors Null ist, er der Nullvektor sein muss. Die absolute HomogenitĂ€t besagt, dass, wenn jede Komponente eines Vektors mit einer Zahl multipliziert wird, sich seine LĂ€nge mit dem Betrag dieser Zahl Ă€ndert. Die Dreiecksungleichung sagt schlieĂlich aus, dass die LĂ€nge der Summe zweier Vektoren höchstens so groĂ wie die Summe der beiden LĂ€ngen ist.
Aus der absoluten HomogenitÀt folgt durch Setzen von <math>\alpha = 0</math> direkt
also die umgekehrte Richtung der Definitheit. Daher besitzt ein Vektor <math>x</math> genau dann die Norm Null, wenn er der Nullvektor ist. Weiterhin folgt aus der absoluten HomogenitÀt durch Setzen von <math>\alpha = -1</math>
also Symmetrie bezĂŒglich Vorzeichenumkehr. Aus der Dreiecksungleichung folgt dann durch Setzen von <math>y = -x</math>, dass eine Norm immer nichtnegativ ist, also
gilt. Damit besitzt jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor eine positive Norm. Weiterhin gilt fĂŒr Normen die umgekehrte Dreiecksungleichung
was durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf <math>x-y+y</math> und BerĂŒcksichtigung der Symmetrie ersichtlich ist. Damit ist jede Norm eine gleichmĂ€Ăig stetige Abbildung. Aufgrund der SubadditivitĂ€t ist eine Norm aber keine lineare Abbildung, sondern eine spezielle sublineare Abbildung.
FĂŒr einen gegebenen Vektor <math>x_0\in V</math> und einen Skalar <math>r \in {\mathbb K}</math> mit <math>r > 0</math> heiĂt die Menge
offene bzw. abgeschlossene Normkugel und die Menge
NormsphĂ€re um <math>x_0</math> mit Radius <math>r</math>. Die Begriffe âKugelâ bzw. âSphĂ€reâ sind dabei sehr allgemein zu sehen â beispielsweise kann eine Normkugel auch Ecken und Kanten besitzen â und fallen nur im Spezialfall der Euklidischen Vektornorm mit dem aus der Geometrie bekannten Kugelbegriff zusammen. WĂ€hlt man in der Definition <math>x_0=0</math> und <math>r=1</math>, so nennt man die entstehenden Mengen Einheitskugeln bzw. EinheitssphĂ€re. Jede Normkugel bzw. NormsphĂ€re entsteht aus der entsprechenden Einheitskugel bzw. EinheitssphĂ€re durch Skalierung mit dem Faktor <math>r</math> und Translation um den Vektor <math>x_0</math>.
In jedem Fall muss eine Normkugel eine konvexe Menge sein, da sonst die entsprechende Abbildung die Dreiecksungleichung nicht erfĂŒllen wĂŒrde. Weiterhin muss eine Normkugel aufgrund der absoluten HomogenitĂ€t immer punktsymmetrisch bezĂŒglich <math>x_0</math> sein. Eine Norm lĂ€sst sich zumindest in endlich-dimensionalen VektorrĂ€umen auch ĂŒber die zugehörige Normkugel definieren, wenn diese Menge konvex, punktsymmetrisch bezĂŒglich des Nullpunktes, abgeschlossen und beschrĂ€nkt ist und den Nullpunkt im Inneren hat. Die entsprechende Abbildung wird auch Minkowski-Funktional oder Eichfunktional genannt. Hermann Minkowski untersuchte solche Eichfunktionale bereits 1896 im Rahmen zahlentheoretischer Fragestellungen.[3]
Eine Norm kann, muss aber nicht notwendigerweise, von einem Skalarprodukt <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> abgeleitet werden. Die Norm eines Vektors <math>x \in V</math> ist dann definiert als
also die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Man spricht in diesem Fall von der durch das Skalarprodukt induzierten Norm oder Hilbertnorm. Jede durch ein Skalarprodukt induzierte Norm erfĂŒllt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
und ist invariant unter unitĂ€ren Transformationen. Nach dem Satz von Jordan-von Neumann ist dabei eine Norm genau dann durch ein Skalarprodukt induziert, wenn sie die Parallelogrammgleichung erfĂŒllt. Einige wichtige Normen sind jedoch nicht von einem Skalarprodukt abgeleitet; historisch gesehen bestand sogar ein wesentlicher Schritt bei der Entwicklung der Funktionalanalysis in der EinfĂŒhrung von Normen, die nicht auf einem Skalarprodukt basieren.[4] Zu jeder Norm gibt es jedoch ein zugehöriges semi-inneres Produkt.
Der Betrag einer reellen Zahl <math>z \in \R</math> ist ein einfaches Beispiel fĂŒr eine Norm. Man erhĂ€lt die Betragsnorm durch Weglassen des Vorzeichens der Zahl, also
\begin{cases} \,\ \ z &\mathrm{f\ddot ur}\ z \ge 0\\ \, -z &\mathrm{f\ddot ur}\ z < 0. \end{cases} </math>
Der Betrag einer komplexen Zahl <math>z \in \C</math> ist entsprechend dazu durch
definiert, wobei <math>\bar{z}</math> die komplex konjugierte Zahl zu <math>z</math> ist und <math>\operatorname{Re}</math> bzw. <math>\operatorname{Im}</math> den Real- bzw. ImaginĂ€rteil der komplexen Zahl angibt. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht damit der LĂ€nge ihres Vektors in der GauĂschen Zahlenebene.
Die Betragsnorm ist vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexen Zahlen
induziert.
Im Folgenden werden reelle oder komplexe Vektoren <math>x \in {\mathbb K}^n</math> endlicher Dimension <math>n \in \mathbb N</math> betrachtet. Ein Vektor (im engeren Sinn) ist dann ein Tupel <math>x = (x_1, \dotsc ,x_n)</math> mit EintrĂ€gen <math>x_i \in \mathbb K</math> fĂŒr <math>i=1, \dotsc ,n</math>. FĂŒr die folgenden Definitionen ist es unerheblich, ob es sich um einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor handelt. FĂŒr <math>n=1</math> entsprechen alle folgenden Normen der Betragsnorm des vorangegangenen Abschnitts.
Die Maximumsnorm, Tschebyschow-Norm oder â-Norm (Unendlich-Norm) eines Vektors ist definiert als
und entspricht der betragsgröĂten Komponente des Vektors. Die EinheitssphĂ€re der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines WĂŒrfels und in allgemeinen Dimensionen die Form eines HyperwĂŒrfels.
Die Maximumnorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von ihr abgeleitete Metrik heiĂt Maximum-Metrik, Tschebyschow-Metrik oder, insbesondere in zwei Dimensionen, Schachbrett-Metrik, da sie den Abstand entsprechend der Anzahl der Schritte misst, die ein König im Schach machen muss, um von einem Feld auf dem Schachbrett zu einem anderen Feld zu kommen. Da der König diagonal ziehen kann ist beispielsweise der Abstand der Mittelpunkte der beiden schrĂ€g gegenĂŒberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Maximum-Metrik gleich <math>7</math>.
Die Maximumsnorm ist ein Spezialfall der Produktnorm
ĂŒber dem Produktraum <math>V = V_1 \times \dotsb \times V_n</math> von <math>n</math> normierten VektorrĂ€umen <math>(V_i, \| \cdot \|_i)</math> mit <math>x=(x_1, \dotsc, x_n)</math> und <math>x_i \in V_i</math>.
Die Euklidische Norm oder 2-Norm eines Vektors ist definiert als
und entspricht der Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten des Vektors. Bei reellen Vektoren kann in der Definition auf die Betragsstriche verzichtet werden, bei komplexen Vektoren jedoch nicht.
Die EinheitssphÀre der reellen Euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines Kreises, in drei Dimensionen die Form einer KugeloberflÀche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer SphÀre. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die euklidische Norm die anschauliche LÀnge eines Vektors in der Ebene bzw. im Raum. Die Euklidische Norm ist als einzige Vektornorm invariant unter unitÀren Transformationen, beispielsweise Drehungen des Vektors um den Nullpunkt.
Die Euklidische Norm wird vom Standardskalarprodukt zweier reeller bzw. komplexer Vektoren <math>x, y</math> gegeben durch
induziert. Ein mit der Euklidischen Norm versehener Vektorraum wird Euklidischer Raum genannt. Die von der Euklidischen Norm abgeleitete Metrik heiĂt Euklidische Metrik. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schrĂ€g gegenĂŒberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Euklidischen Metrik nach dem Satz des Pythagoras gleich <math>\sqrt{7^2 + 7^2} = 7 \sqrt{2} \approx 9,9</math>.
Die Summennorm, (genauer) Betragssummennorm, oder 1-Norm (lies: "Einsnorm") eines Vektors ist definiert als
und entspricht der Summe der BetrÀge der Komponenten des Vektors. Die EinheitssphÀre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops.
Die Summennorm ist nicht von einem Skalarprodukt induziert. Die von der Summennorm abgeleitete Metrik heiĂt speziell im reellen zweidimensionalen Raum auch Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik, da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan misst, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann. Beispielsweise ist der Abstand der Mittelpunkte der beiden schrĂ€g gegenĂŒberliegenden Eckfelder eines Schachbretts in der Manhattan-Metrik gleich <math>14</math>.
Allgemein lĂ€sst sich fĂŒr reelles <math>1 \leq p < \infty</math> die p-Norm eines Vektors durch
definieren. FĂŒr <math>p=1</math> erhĂ€lt man so die Summennorm, fĂŒr <math>p=2</math> die Euklidische Norm und als Grenzwert fĂŒr <math>p\to\infty</math> die Maximumsnorm. Die EinheitssphĂ€ren der p-Normen haben im reellen Fall in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen <math>(p>2)</math> bzw. Subellipsen <math>(1 \leq p < 2)</math> und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden bzw. Subellipsoiden.
Alle p-Normen inklusive der Maximumsnorm erfĂŒllen die Minkowski-Ungleichung sowie die Hölder-Ungleichung. Sie sind fĂŒr wachsendes <math>p</math> monoton fallend und zueinander Ă€quivalent. Als eingrenzende Faktoren ergeben sich fĂŒr <math>1 \leq p \leq r \leq \infty</math>
wobei im Fall der Maximumsnorm der Exponent <math>\tfrac{1}{\infty} = 0</math> gesetzt wird. Die p-Normen unterscheiden sich somit maximal um den Faktor <math>n</math>. Die analog zu den p-Normen fĂŒr <math>p < 1</math> definierten Abbildungen sind keine Normen, da die resultierenden Normkugeln nicht mehr konvex sind und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird.
Im Folgenden werden reelle oder komplexe Matrizen <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> mit <math>m</math> Zeilen und <math>n</math> Spalten betrachtet. FĂŒr Matrixnormen wird neben den drei Normeigenschaften manchmal die SubmultiplikativitĂ€t
mit <math>B \in {\mathbb K}^{n \times l}</math> als weitere definierende Eigenschaft verlangt. Ist eine Matrixnorm submultiplikativ, dann ist der Spektralradius der Matrix (der Betrag des betragsgröĂten Eigenwerts) maximal so groĂ wie die Norm der Matrix. Es gibt jedoch auch Matrixnormen mit den ĂŒblichen Normeigenschaften, die nicht submultiplikativ sind. Meist wird bei der Definition einer Matrixnorm eine Vektornorm zugrunde gelegt. Eine Matrixnorm heiĂt dabei mit einer Vektornorm vertrĂ€glich, wenn
fĂŒr alle <math>x \in {\mathbb K}^n</math> gilt.
Indem alle EintrĂ€ge einer Matrix untereinander geschrieben werden, kann eine Matrix auch als entsprechend langer Vektor aus <math>{\mathbb K}^{m \cdot n}</math> angesehen werden. Damit können Matrixnormen direkt ĂŒber Vektornormen definiert werden, insbesondere ĂŒber die p-Normen durch
wobei <math>a_{ij} \in \mathbb K</math> die EintrĂ€ge der Matrix sind. Beispiele fĂŒr so definierte Matrixnormen sind die auf der Maximumsnorm basierende Gesamtnorm und die auf der Euklidischen Norm basierende Frobeniusnorm, die beide submultiplikativ und mit der Euklidischen Norm vertrĂ€glich sind.
Eine Matrixnorm heiĂt von einer Vektornorm induziert oder natĂŒrliche Matrixnorm, wenn sie als Operatornorm abgeleitet ist, falls also gilt:
Anschaulich entspricht eine so definierte Matrixnorm dem gröĂtmöglichen Streckungsfaktor nach Anwendung der Matrix auf einen Vektor. Als Operatornormen sind solche Matrixnormen stets submultiplikativ und mit der Vektornorm, aus der sie abgeleitet wurden, vertrĂ€glich. Die Operatornormen sind sogar unter allen mit einer Vektornorm vertrĂ€glichen Matrixnormen jeweils die kleinsten. Beispiele fĂŒr so definierte Matrixnormen sind die auf der Maximumsnorm basierende Zeilensummennorm, die auf der Euklidischen Norm basierende Spektralnorm und die auf der Summennorm basierende Spaltensummennorm.
Eine weitere Möglichkeit, Matrixnormen ĂŒber Vektornormen abzuleiten, ist es eine SingulĂ€rwertzerlegung einer Matrix <math>A = U \Sigma V^H</math> in eine unitĂ€re Matrix <math>U</math>, eine Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> und eine adjungierte unitĂ€re Matrix <math>V^H</math> zu betrachten. Die nichtnegativen, reellen EintrĂ€ge <math>\sigma_1, \ldots , \sigma_r</math> von <math>\Sigma</math> sind dann die SingulĂ€rwerte von <math>A</math> und gleich den Quadratwurzeln der Eigenwerte von <math>A^HA</math>. Die SingulĂ€rwerte werden dann zu einem Vektor <math>\sigma = (\sigma_1, \ldots , \sigma_r)</math> zusammengefasst, dessen Vektornorm betrachtet wird, also
Beispiele fĂŒr so definierte Matrixnormen sind die ĂŒber die p-Normen des Vektors der SingulĂ€rwerte definierten Schatten-Normen und die auf der Summe der gröĂten SingulĂ€rwerte basierenden Ky-Fan-Normen.
Wird ein Vektorraum <math>V</math> mit einer Norm versehen, so erhÀlt man einen normierten Raum <math>(V, \| \cdot \|)</math> mit weitgehenden Eigenschaften. So induziert jede Norm zwischen Vektoren <math>x, y \in V</math> durch Differenzenbildung eine Metrik
Mit dieser FrĂ©chet-Metrik wird ein normierter Raum zu einem metrischen Raum und weiterhin mit der von der Metrik induzierten Topologie zu einem topologischen Raum, sogar zu einem Hausdorff-Raum. Die Norm ist dann eine stetige Abbildung bezĂŒglich dieser Normtopologie. Eine Folge <math>(x_n)_n</math> strebt damit genau dann gegen einen Grenzwert <math>x</math>, wenn <math>\|x_n-x\|\rightarrow 0</math> gilt. Konvergiert in einem normierten Raum jede Cauchy-Folge gegen einen Grenzwert in diesem Raum, so spricht man von einem vollstĂ€ndigen normierten Raum oder Banachraum.
Versieht man den Vektorraum <math>V</math> zudem mit einem assoziativen und distributiven Vektorprodukt <math>\circ</math>, dann ist <math>( V, +, \circ )</math> ist eine assoziative Algebra. Ist nun <math>(V, \| \cdot \|)</math> ein normierter Raum und diese Norm submultiplikativ, das heiĂt fĂŒr alle Vektoren <math>x, y \in V</math> gilt
dann erhÀlt man eine normierte Algebra. Ist der normierte Raum vollstÀndig, spricht man auch von einer Banachalgebra. Beispielsweise ist der Raum der quadratischen Matrizen <math>{\mathbb K}^{n \times n}</math> mit der Matrizenaddition und -multiplikation sowie einer submultiplikativen Matrixnorm eine solche Banachalgebra.
Wird auf das erste Normaxiom Definitheit verzichtet, dann ist <math>\| \cdot \|</math> nur eine Halbnorm (beziehungsweise eine Seminorm). Aufgrund der HomogenitÀt und der SubadditivitÀt ist dann die Menge
der Vektoren mit Norm Null ein Unterraum von <math>V</math>. Auf diese Weise kann eine Ăquivalenzrelation auf <math>V</math> durch
definiert werden. Identifiziert man nun in einem neuen Raum <math>\tilde{V}</math> alle so Ă€quivalenten Elemente als gleich, dann ist <math>\tilde{V}</math> zusammen mit der Norm <math>\| \cdot \|</math> ein normierter Raum. Man nennt diesen Vorgang Restklassenbildung in <math>V</math> bezĂŒglich der Halbnorm und bezeichnet <math>\tilde{V}</math> als Faktorraum <math>V / Z</math>. Durch eine Menge von Halbnormen lassen sich auch spezielle topologische VektorrĂ€ume, die lokalkonvexen RĂ€ume, definieren.
Zwei Normen <math>\| \cdot \|_a</math> und <math>\| \cdot \|_b</math> heiĂen Ă€quivalent, wenn es zwei positive Konstanten <math>c_1</math> und <math>c_2</math> gibt, sodass fĂŒr alle <math>x \in V</math>
gilt, also wenn eine Norm durch die andere Norm nach oben und nach unten abgeschĂ€tzt werden kann. Ăquivalente Normen induzieren dieselbe Topologie. Konvergiert eine Folge bezĂŒglich einer Norm, so konvergiert sie auch bezĂŒglich einer zu ihr Ă€quivalenten Norm.
Auf endlich-dimensionalen VektorrĂ€umen sind alle Normen zueinander Ă€quivalent, da die Normkugeln dann kompakte Mengen sind. Auf unendlich-dimensionalen RĂ€umen sind jedoch nicht alle Normen zueinander Ă€quivalent. Ist ein Vektorraum aber bezĂŒglich zweier Normen vollstĂ€ndig, so sind diese beiden Normen bereits dann Ă€quivalent, wenn es eine positive Konstante <math>c</math> gibt, sodass
gilt, da es eine stetige lineare Abbildung zwischen den beiden BanachrÀumen gibt, deren Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls stetig ist.
Der Dualraum <math>V^{*}</math> eines Vektorraums <math>V</math> ĂŒber einem Körper <math>\mathbb K</math> ist der Raum der stetigen linearen Funktionale von <math>V</math> nach <math>\mathbb K</math>. Beispielsweise kann der Dualraum zu dem Raum der n-dimensionalen (Spalten-)Vektoren als der Raum der Linearkombinationen der Vektorkomponenten, also der Raum der Zeilenvektoren der gleichen Dimension gesehen werden. Die zu einer Norm <math>\| \cdot \|</math> duale Norm <math>\| \cdot \|^{\ast}</math> eines Funktionals <math>L \in V^{*}</math> ist dann definiert durch
Mit dieser Norm ist der Dualraum ebenfalls ein normierter Raum. Der Dualraum mit der Dualnorm ist stets vollstĂ€ndig, unabhĂ€ngig von der VollstĂ€ndigkeit des Ausgangsraums. Sind zwei Normen zueinander Ă€quivalent, dann sind die zugehörigen dualen Normen ebenfalls zueinander Ă€quivalent. FĂŒr duale Normen ergibt sich aus obiger Definition als Supremum sofort folgende wichtige Ungleichung
Nun werden reel- oder komplexwertige Folgen <math>(a_n)_n = (a_1, a_2, \ldots) \in {\mathbb K}^{\N}</math> mit Folgengliedern <math>a_n \in {\mathbb K}</math> fĂŒr <math>n \in \N</math> betrachtet. Folgen sind damit eine direkte Verallgemeinerung von Vektoren endlicher Dimension. Im Gegensatz zu endlich-dimensionalen Vektoren können Folgen unbeschrĂ€nkt sein, wodurch die bisherigen Vektornormen nicht direkt auf Folgen ĂŒbertragen werden können. Beispielsweise ist das Betragsmaximum oder die Betragssumme der Folgenglieder einer unbeschrĂ€nkten Folge unendlich und damit keine reelle Zahl mehr. Daher mĂŒssen die betrachteten FolgenrĂ€ume entsprechend eingeschrĂ€nkt werden, damit die zugeordneten Normen endlich sind.
Die Supremumsnorm einer beschrÀnkten Folge ist definiert als
Die Menge der beschrÀnkten Folgen <math>\ell^\infty</math>, die Menge der konvergenten Folgen <math>c</math> und die Menge der gegen Null konvergenten Folgen (Nullfolgen) <math>c_0</math> sind zusammen mit der Supremumsnorm vollstÀndige normierte RÀume.
Die bv-Norm einer Folge von beschrÀnkter Variation ist definiert als
Mit der bv-Norm wird der Folgenraum <math>bv</math> ein vollstĂ€ndiger normierter Raum, da jede Folge mit beschrĂ€nkter Variation eine Cauchy-Folge ist. FĂŒr den Teilraum <math>bv_0</math> der Nullfolgen mit beschrĂ€nkter Variation erhĂ€lt man die bv0-Norm durch Weglassen des ersten Terms, also
und mit dieser Norm ist der Raum <math>bv_0</math> ebenfalls vollstÀndig.
Die âp-Normen sind die Verallgemeinerung der p-Normen auf FolgenrĂ€ume, wobei lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird. Die âp-Norm einer in p-ter Potenz betragsweise summierbaren Folge ist fĂŒr reelles <math>1 \leq p < \infty</math> dann definiert als
Versehen mit diesen Normen werden die âp-RĂ€ume jeweils zu vollstĂ€ndigen normierten RĂ€umen. FĂŒr den Grenzwert <math>p \rightarrow \infty</math> ergibt sich der Raum der beschrĂ€nkten Folgen <math>\ell^\infty</math> mit der Supremumsnorm. Der Raum <math>\ell^2</math> ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
zweier Folgen. Die zu einer âp-Norm mit <math>1 \leq p < \infty</math> duale Norm ist die âq-Norm mit <math>(1/p) + (1/q) = 1</math>. Der Raum <math>\ell^1</math> ist jedoch nicht dual zum Raum <math>\ell^\infty</math>, sondern dual zum Raum der konvergenten Folgen <math>c</math> und zum Raum der Nullfolgen <math>c_0</math> jeweils mit der Supremumsnorm.
Im Folgenden werden reell- oder komplexwertige Funktionen <math>f\colon \Omega \rightarrow {\mathbb K}</math> auf einer Menge <math>\Omega</math> betrachtet. Oft ist <math>\Omega</math> ein topologischer Raum, damit man ĂŒber Stetigkeit sprechen kann, in vielen Anwendungen ist <math>\Omega</math> eine Teilmenge des <math>\R^n</math>. Ebenso wie Folgen können auch Funktionen prinzipiell unbeschrĂ€nkt sein. Daher mĂŒssen die betrachteten FunktionenrĂ€ume entsprechend eingeschrĂ€nkt werden, damit die zugeordneten Normen endlich sind. Die wichtigsten solcher FunktionenrĂ€ume sind Klassen beschrĂ€nkter, stetiger, integrierbarer oder differenzierbarer Funktionen. Allgemeiner können die folgenden FunktionenrĂ€ume und -normen auch fĂŒr Banachraum-wertige Funktionen definiert werden, wenn der Absolutbetrag <math>| \cdot |</math> durch die Norm des Banachraums ersetzt wird.
Die Supremumsnorm einer beschrÀnkten Funktion, also einer Funktion, deren Bild eine beschrÀnkte Teilmenge von <math>\mathbb K</math> ist, ist definiert als
Die Menge der beschrÀnkten Funktionen ist mit der Supremumsnorm ein vollstÀndiger normierter Raum.
Die BV-Norm einer eindimensionalen Funktion mit beschrÀnkter Variation auf einem Intervall ist in Analogie zur bv-Norm einer Folge definiert als
wobei <math>P = \{ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \}</math> eine Partition des Intervalls <math>[a,b]</math> und das Supremum ĂŒber alle möglichen Partitionen genommen wird. Eine Funktion ist genau dann von beschrĂ€nkter Variation, wenn sie sich als Summe einer monoton steigenden und einer monoton fallenden Funktion darstellen lĂ€sst. Die Menge der Funktionen beschrĂ€nkter Variation ist mit der BV-Norm ein vollstĂ€ndiger normierter Raum. Alternativ kann als Normierungsterm statt <math>| f(a) |</math> auch das Integral der Funktion ĂŒber das Intervall gewĂ€hlt werden. FĂŒr BV-Normen und die zugehörigen RĂ€ume von Funktionen beschrĂ€nkter Variation gibt es eine Reihe mehrdimensionaler Verallgemeinerungen, beispielsweise die FrĂ©chet-Variation, die Vitali-Variation und die Hardy-Variation.
Die Maximumsnorm einer stetigen Funktion auf einer kompakten Menge ist definiert als
Nach dem Extremwertsatz nimmt eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge ihr Maximum an. Der Raum der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge ist mit der Maximumsnorm ein vollstÀndiger normierter Raum.
Die Hölder-Norm einer Hölder-stetigen Funktion mit Hölderexponent <math>0 < \alpha \leq 1</math> ist definiert als
wobei die Hölder-Konstante der Funktion durch
gegeben ist. Die Hölder-Konstante ist eine spezielle Form eines Stetigkeitsmoduls und stellt selbst eine Halbnorm dar. Die RÀume der Hölder-stetigen Funktionen sind mit den jeweiligen Hölder-Normen vollstÀndige normierte RÀume. Im Spezialfall <math>\alpha = 1</math> spricht man von einer Lipschitz-stetigen Funktion, der Lipschitz-Konstante und der Lipschitz-Norm.
Die <math>{\mathcal L}^\infty</math>-Norm einer fast ĂŒberall beschrĂ€nkten Funktion auf einem MaĂraum <math>(\Omega, \mathcal{X}, \mu)</math> ist definiert als
wobei <math>N</math> eine Nullmenge, also ein Element aus der <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{X}</math> mit <math>\mu</math>-MaĂ Null, ist. Eine fast ĂŒberall beschrĂ€nkte Funktion kann also an manchen Punkten <math>{x \in M}</math> einen betragsmĂ€Ăig höheren Wert als ihr wesentliches Supremum annehmen. Die wesentliche Supremumsnorm ist im Allgemeinen nur eine Halbnorm, da die Menge der Funktionen mit Norm Null nicht nur die Nullfunktion, sondern beispielsweise auch alle Funktionen umfasst, die davon abweichend auf Nullmengen Werte ungleich Null annehmen. Daher betrachtet man die Menge der Ăquivalenzklassen <math>[ f ]</math> von Funktionen <math>f \in {\mathcal L}^{\infty}(\Omega)</math>, die fast ĂŒberall gleich sind, und nennt den entsprechenden Faktorraum <math>L^\infty(\Omega)</math>. Auf diesem Raum ist die wesentliche Supremumsnorm definiert als
tatsĂ€chlich eine Norm, wobei der Wert auf der rechten Seite unabhĂ€ngig von der Wahl des ReprĂ€sentanten <math>f</math> aus der Ăquivalenzklasse <math>[f]</math> ist. Oft wird ungenau <math>f \in L^{\infty}(\Omega)</math> statt <math>[f] \in L^{\infty}(\Omega)</math> geschrieben, wobei dann davon ausgegangen wird, dass <math>f</math> nur ein ReprĂ€sentant der Ăquivalenzklasse ist. Der Raum der Ăquivalenzklassen von wesentlich beschrĂ€nkten Funktionen <math>L^{\infty}(\Omega)</math> ist mit der wesentlichen Supremumsnorm ein vollstĂ€ndiger normierter Raum.
Die <math>{\mathcal L}^p</math>-Normen einer in p-ter Potenz Lebesgue-integrierbaren Funktion mit <math>1 \leq p < \infty</math> sind in Analogie zu den âp-Normen definiert als
wobei die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Ebenso wie bei der wesentlichen Supremumsnorm sind diese Normen zunĂ€chst nur Halbnormen, da nicht nur die Nullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit MaĂ Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man wieder die Menge der Ăquivalenzklassen von Funktionen <math>[ f ] \in L^p(\Omega)</math>, die fast ĂŒberall gleich sind, und definiert auf diesen Lp-RĂ€umen die Lp-Normen durch
Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind alle Lp-RĂ€ume mit der jeweiligen Lp-Norm vollstĂ€ndige normierte RĂ€ume. Der Raum <math>L^1(\Omega)</math> ist der Raum der (Ăquivalenzklassen von) Lebesgue-integrierbaren Funktionen. Der Raum <math>L^2(\Omega)</math> der quadratisch integrierbaren Funktionen ist ein Hilbertraum mit Skalarprodukt
und fĂŒr den Grenzwert <math>p \rightarrow \infty</math> ergibt sich der Raum der wesentlich beschrĂ€nkten Funktionen <math>L^{\infty}(\Omega)</math>. Die zu der Lp-Norm fĂŒr <math>1 \leq p < \infty</math> duale Norm ist die Lq-Norm mit <math>(1/p) + (1/q) = 1</math>. Die Lp-Normen und -RĂ€ume lassen sich von dem Lebesgue-MaĂ auf allgemeine MaĂe verallgemeinern, wobei die DualitĂ€t fĂŒr <math>p=1</math> nur in bestimmten MaĂrĂ€umen gilt, siehe DualitĂ€t von Lp-RĂ€umen.
Die Cm-Norm einer m-mal stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge <math>\Omega</math>, deren partielle Ableitungen auf dem Abschluss der Menge <math>\bar\Omega</math> stetig fortsetzbar sind, ist definiert als
wobei <math>s = (s_1 , \ldots , s_n)</math> ein Multiindex aus nichtnegativen ganzen Zahlen, <math>\partial^s f</math> die zugehörige gemischte partielle Ableitung der Funktion und <math>| s | := s_1 + \ldots + s_n</math> die Ordnung der Ableitung sind. Die C0-Norm entspricht damit der Supremumsnorm und die C1-Norm dem Maximum der Funktion und ihrer ersten Ableitungen. Die RĂ€ume <math>C^m(\bar\Omega)</math> sind mit der jeweiligen Cm-Norm vollstĂ€ndige normierte RĂ€ume. Alternativ wird die Cm-Norm ĂŒber die Summe der Einzelnormen statt ĂŒber ihr Maximum definiert, beide Normen sind aber zueinander Ă€quivalent.
Analog ist die Cm,α-Norm einer m-mal stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge, deren gemischte partielle Ableitungen auf dem Abschluss der Menge stetig fortsetzbar sind und deren Hölder-Konstanten der Ableitungen bis zum Grad <math>m</math> beschrÀnkt sind, <math>f \in C^{m,\alpha}(\bar\Omega)</math>, definiert als
Die RÀume dieser Hölder-stetig differenzierbaren Funktionen sind mit den jeweiligen Cm,α-Normen ebenfalls vollstÀndige normierte RÀume.[5]
Die Sobolev-Norm einer m-mal schwach differenzierbaren Funktion auf einer offenen Menge, deren gemischte schwache Ableitungen <math>\partial^{s} f</math> bis zum Grad <math>m</math> in p-ter Potenz Lebesgue-integrierbar sind, ist fĂŒr <math>1 \leq p < \infty</math> definiert als
und fĂŒr <math>p = \infty</math> als
Betrachtet man in der Summe nur die gemischten Ableitungen der Ordnung <math>|s| = m</math>, so erhÀlt man nur eine Halbnorm, die auf allen Polynomen vom Grad kleiner als <math>m</math> verschwindet. Die Sobolev-RÀume <math>W^{m,p}(\Omega)</math> der Funktionen, deren gemischte schwache Ableitungen bis zum Grad <math>m</math> in <math>L^p(\Omega)</math> liegen, sind mit der jeweiligen Sobolev-Norm vollstÀndige normierte RÀume. Insbesondere sind die RÀume <math>W^{m,2}(\Omega)</math> HilbertrÀume mit Skalarprodukt
Sobolev-Normen spielen eine wichtige Rolle in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen als natĂŒrliche Definitionsbereiche der Differentialoperatoren oder bei FehlerabschĂ€tzungen von Finite-Elemente-Verfahren zur Diskretisierung partieller Differentialgleichungen.
Im Folgenden werden lineare Operatoren <math>T: V \rightarrow W</math> zwischen zwei VektorrÀumen <math>V</math> und <math>W</math> betrachtet. Dabei wird angenommen, dass diese VektorrÀume bereits selbst normierte RÀume sind.
Die Operatornorm eines beschrÀnkten linearen Operators zwischen zwei normierten RÀumen ist definiert als
Ist <math>T</math> eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen VektorrĂ€umen, so ist ihre Operatornorm nach Wahl einer Basis eine natĂŒrliche Matrixnorm. Ist der Vektorraum <math>W</math> vollstĂ€ndig, dann ist auch der Raum der beschrĂ€nkten (und damit stetigen) linearen Operatoren von <math>V</math> nach <math>W</math> vollstĂ€ndig. Operatornormen sind immer submultiplikativ, sind demnach die beiden VektorrĂ€ume gleich und vollstĂ€ndig, dann ist der Raum der stetigen linearen Operatoren mit der Operatornorm und der Komposition eine Banachalgebra.
Die nukleare Norm eines nuklearen Operators zwischen zwei BanachrÀumen ist definiert als
wobei <math>(x'_i)_i</math> eine Folge von Vektoren im Dualraum <math>V'</math> und <math>(y_i)_i</math> eine Folge von Vektoren in <math>W</math> ist, so dass <math>T</math> die Gestalt <math>\textstyle T(x) = \sum_{i=1}^\infty x'_i(x) y_i </math> hat, und das Infimum ĂŒber alle solche nuklearen Darstellungen genommen wird. Sind die beiden VektorrĂ€ume HilbertrĂ€ume wird die entsprechende nukleare Norm auch Spurnorm genannt. Der Raum der nuklearen Operatoren ist mit der nuklearen Norm ein vollstĂ€ndiger normierter Raum.
Die Hilbert-Schmidt-Norm eines Hilbert-Schmidt-Operators zwischen zwei HilbertrÀumen ist definiert als
wobei <math>( e_i )_{i \in I}</math> eine Orthonormalbasis von <math>V</math> ist. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler HilbertrĂ€ume. Die Hilbert-Schmidt-Norm ist von dem Skalarprodukt <math>\langle T, S \rangle = \operatorname{spur}( S^{*} \, T )</math>, wobei <math>S^{*}</math> der adjungierte Operator zu <math>S</math> ist, induziert. Die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm selbst einen Hilbertraum und fĂŒr <math>V=W</math> eine Banachalgebra, sogar eine H*-Algebra.
Die Schatten-p-Norm eines kompakten linearen Operators zwischen zwei separablen HilbertrĂ€umen ist fĂŒr <math>1 \leq p < \infty</math> definiert als
wobei <math>( s_i )</math> die Folge der SingulĂ€rwerte des Operators ist. Im Fall <math>p=1</math> ergibt sich die Spurnorm und im Fall <math>p=2</math> die Hilbert-Schmidt-Norm. Die Menge der kompakten linearen Operatoren, deren SingulĂ€rwerte in <math>\ell^p</math> liegen, bildet mit der jeweiligen Schatten-p-Norm einen vollstĂ€ndigen normierten Raum und fĂŒr <math>V=W</math> eine Banachalgebra.
Gewichtete Normen sind Normen auf gewichteten VektorrĂ€umen. Beispielsweise erhĂ€lt man induzierte gewichtete Funktionenormen durch Multiplikation mit einer geeigneten positiven Gewichtsfunktion <math>w</math> ĂŒber
wobei <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_w</math> ein gewichtetes L2-Skalarprodukt ist. Die EinfĂŒhrung von Gewichtsfunktionen erlaubt es FunktionenrĂ€ume zu erweitern, beispielsweise auf Funktionen, deren Norm im ungewichteten Fall unbeschrĂ€nkt wĂ€re, oder einzuschrĂ€nken, beispielsweise auf Funktionen, die ein bestimmtes Abfallverhalten aufweisen.
Wird die Dreiecksungleichung dahingehend abgeschwĂ€cht, dass lediglich eine reelle Konstante <math>k>1</math> existiert, sodass fĂŒr alle <math>x, y \in V</math>
gilt, so nennt man die entsprechende Abbildung Quasinorm und einen mit einer solchen Quasinorm versehenen Vektorraum quasinormierter Raum. Beispielsweise sind die âp-Normen fĂŒr <math>0 < p < 1</math> Quasinormen und die zugehörigen âp-RĂ€ume quasinormierte RĂ€ume, sogar Quasi-BanachrĂ€ume.
Der Begriff einer Norm kann wesentlich allgemeiner gefasst werden, indem der Vektorraum durch einen R-(Links)-Modul <math>M</math> ĂŒber einem unitĂ€ren Ring mit Betrag <math>(R, |\cdot|)</math> ersetzt wird. Eine Funktion <math>\|\cdot\|\colon M\to\R_{+}</math> heiĂt dann Norm auf dem Modul <math>M</math>, wenn fĂŒr alle <math>x, y\in M</math> und alle Skalare <math>\alpha\in R</math> die drei Normeigenschaften Definitheit, absolute HomogenitĂ€t und SubadditivitĂ€t erfĂŒllt sind. Wenn im Grundring <math>R</math> der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird und im Modul <math>M</math> die HomogenitĂ€t zur SubhomogenitĂ€t abgeschwĂ€cht wird, erhĂ€lt man eine Pseudonorm.
