Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind Begriffe aus der Kausalitätstheorie und Aussagenlogik, die Bedingungen in zwei verschiedene Typen unterteilen.

Im Sinne eines Ursache-Wirkung-Zusammenhangs kann mit ihnen ausgedrückt werden, ob Ereignisse als Ursachen anderer Ereignisse (weil …, geschah …) folgende Eigenschaften haben: Unersetzbarkeit und zwangsläufiges Eintreten.

Notwendige Bedingung

Ein Korb ist eine notwendige Bedingung, um Basketball zu spielen – ohne ihn geht es nicht, aber es braucht noch Weiteres (z. B. einen Basketball), um spielen zu können.

Eine notwendige Bedingung ist unersetzbar für das Eintreten eines Ereignisses. Wenn sie nicht zugleich hinreichend ist, genügt sie allein aber nicht, damit das Ereignis eintritt. Mit anderen Worten: Ohne geht es nicht (deshalb auch K.-o.-Kriterium genannt), für das Eintreten der Wirkung braucht es aber eventuell noch mehr.

Aussagenlogisch betrachtet ist eine notwendige Bedingung B für eine Aussage K eine Aussage, die zwingend wahr (erfüllt) sein muss, wenn K wahr ist. Es kommt also nicht vor, dass K erfüllt ist, ohne dass B erfüllt ist.

Der Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise <math>K \rightarrow B</math> ausgedrückt, sprich „K impliziert B“ oder „aus K folgt B“. Der Pfeil, der den Zusammenhang symbolisiert, steht für die Reihenfolge, in der ein logischer Schluss möglich ist. Dies kann einer zeitlichen Reihenfolge entsprechen, ist aber nicht zwingend (siehe auch den Abschnitt zu den Zusammenhängen).

Der umgekehrte Schluss, also <math>B \rightarrow K</math>, muss nicht gültig sein (siehe erstes Beispiel).

Gibt es mehrere notwendige Bedingungen <math>B_1, B_2, \dots</math>, d. h. gilt <math>K\rightarrow B_1, K\rightarrow B_2, \dots</math> so müssen alle gleichzeitig erfüllt sein (logische Konjunktion): <math>K \rightarrow B_1 \land B_2 \land \dots</math>.

Beispiele

• Nur wer die Unionsbürgerschaft der EU hat (B), darf aktiv an den Europawahlen teilnehmen (K). Dementsprechend ist B notwendig für K, und damit unumgehbar. Aus K folgt auch, dass B erfüllt ist – wer zur Teilnahme an Europawahlen berechtigt ist, hat auch die Unionsbürgerschaft.
  Der Umkehrschluss gilt hier aber nicht: Aus B lässt sich nicht schließen, dass K erfüllt ist, weil die Bedingung nicht zugleich hinreichend ist – um wahlberechtigt zu sein, müssen noch andere Bedingungen erfüllt sein, z. B. ein Mindestalter von achtzehn bzw. in Österreich sechszehn Jahren.

• Um einen gegebenen Funktionswert als Extrempunkt einer stetig differenzierbaren Funktion <math>\!\ f</math> im Rahmen einer Kurvendiskussion nachzuweisen, ist es notwendige Bedingung für diesen Nachweis, dass der untersuchte Wert innerhalb der Ableitungsfunktion <math>f\!\,'</math> null ergibt, die Tangente der Funktion also parallel zur x-Achse ist. Ohne diese parallele Tangente zur x-Achse ist es nicht möglich, einen Extrempunkt einer stetig differenzierbaren Funktion nachzuweisen.

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Hinreichende Bedingung

Eichenblätter zu fressen, ist für die Maus eine hinreichende Bedingung, um satt zu werden – es führt zum Sattsein, ohne dass weitere Bedingungen erfüllt sein müssen, kann aber auch anders realisiert werden (z. B. mit Karotten).

Eine hinreichende Bedingung sorgt zwangsläufig für das Eintreten des Ereignisses. Wenn sie nicht zugleich notwendig ist, dann gibt es andere Bedingungen, die ebenfalls zum Eintreten des Ereignisses führen; sie ist dann ersetzbar bzw. umgehbar (multiple Erfüllbarkeit). Mit anderen Worten: Eine hinreichende Bedingung genügt vollkommen aus, damit eine Ereignis eintritt, es gibt aber eventuell noch andere Wege.

Aussagenlogisch betrachtet: Hat eine Subjunktion mehrere hinreichende Bedingungen <math>B_1, B_2, \dots</math>, d. h. gilt <math>B_1\rightarrow K, B_2\rightarrow K, \dots</math>, so genügt es, wenn mindestens eine erfüllt ist (logische Disjunktion): <math>B_1 \vee B_2 \vee ... \rightarrow K</math>

Beispiele

• Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. Regen ist hinreichend (ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine notwendige Bedingung, weil es auch andere Möglichkeiten gibt, eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch das Besprengen mit Wasser aus einem Schlauch.

• Verfügt ein Lebewesen über eine funktionierende Lunge, ist es in der Lage, Sauerstoff aus der Umgebung aufzunehmen und Kohlenstoffdioxid wieder abzugeben (diese Fähigkeit ist selbst notwendige Bedingung der Atmung). Die funktionstüchtige Lunge führt zwangsläufig zu dieser Befähigung, jedoch ist es auch möglich, diese Fähigkeit über Kiemen zu erlangen.

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Notwendige und zugleich hinreichende Bedingung

Eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung, bei deren Erfüllung eine Subjunktion oder Wirkung zwangsläufig eintritt. Genannt wird dieser Typ von Bedingungen auch iff – engl. if and only if, zu deutsch ‚falls und nur falls‘. Eine Entsprechung lautet g. d. w., abgekürzt für genau dann, wenn. Eine weitere Entschprechung ist dann und nur dann, Formelzeichen <math>\iff</math>.

Eine Subjunktion kann nur eine einzige zugleich notwendige wie auch hinreichende Bedingung haben. Dies nennt sich Bikonditional: <math>A \leftrightarrow B</math>

Beispiel

• Eine Person ist dann und nur dann ein Junggeselle, wenn sie niemals geheiratet hat.

Zusammenhänge zwischen beiden in der Aussagenlogik

Notwendige und hinreichende Bedingung stehen in engem Zusammenhang. Im Rahmen der Aussagenlogik bedeutet K <math> \rightarrow </math> B (gesprochen „K impliziert B“): Wenn K eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für K.

Auch der Umkehrschluss hinsichtlich des Typs der Bedingung ist gültig: Falls K eine notwendige Bedingung für B ist, dann ist B eine hinreichende Bedingung für K. In der Aussagenlogik lassen notwendige und hinreichende Bedingungen allein keine weiteren Schlüsse auf die Art des Zusammenhang zwischen Bedingung und Bedingtem. Hierfür bedarf es weiterer Überlegungen und oft auch empirischer Untersuchungen; siehe auch Paradoxien der materialen Implikation.

Beispiele

• „Nur wenn eine Person im Sinne des Wahlrechts volljährig ist (B), darf sie wählen (K)“ ist gleichbedeutend mit „Schon wenn eine Person wählen darf (K), ist sie volljährig (B)“. Verdeutlichen kann man sich diesen oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt: Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus schließen, dass sie volljährig sein muss, weil in der Regel ausschließlich volljährige Personen wählen dürfen.
• Wenn ein virtueller Lemming einen Abgrund hinunterfällt, ist dies eine hinreichende Bedingung für seinen virtuellen Tod, weil dies durch das Hinabfallen zwangsläufig eintritt und zugleich durch andere Bedingungen ersetzt werden kann (z. B. explodieren). Obwohl dies zeitlich nacheinander geschieht, wird in der Aussagenlogik keine zeitliche Reihenfolge, sondern lediglich eine Verknüpfung zwischen zwei Aussagen untersucht. Umgekehrt ist der virtuelle Tod des virtuellen Lemmings also eine notwendige Bedingung für dessen Hinabfallen in den Abgrund, er ist im Rahmen der Spielmechanik als Bedingung nicht ersetzbar: Die Aussage „Der Lemming ist tot“ (nachher) muss erfüllt sein, damit die Aussage „Der Lemming ist hinabgefallen“ (vorher) zutrifft.

Weiterentwicklungen

Die philosophische und rechtswissenschaftliche Methode der Conditio-sine-qua-non-Formel verwendet das Konzept der notwendigen Bedingung, um eine kausale Ursache zu definieren.

Die INUS-Bedingung des australischen Philosophen John Mackie basiert auf dem nicht hinreichenden, aber notwendigen Teil einer nicht notwendigen, aber hinreichenden Bedingung.

Siehe auch

• Glossar mathematischer Attribute, Einträge hinreichend und notwendig

Weblinks

• Necessary and Sufficient Conditions. Eintrag In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy. (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3