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Ein Planimeter (wegen seiner Form in Fachkreisen auch âMogelkutscheâ genannt) ist ein mathematisches Instrument und Analogrechner, also ein mechanisches MessgerĂ€t, zur Ermittlung beliebiger FlĂ€cheninhalte in Landkarten oder Zeichnungen. Man fĂ€hrt den Rand der zu messenden FlĂ€che mit einem Fahrstift oder einer Lupe mit Fadenkreuz o. Ă€. entlang, wobei ein Messrad die FlĂ€che integriert. Der Rand ist eine geschlossene Kurve, Anfangs- und Endpunkt der Messfahrt ist derselbe. Das Vorzeichen der Messung wird dadurch bestimmt, ob der Rand im Uhrzeiger- oder Gegenuhrzeigersinn abgefahren wird.
Die zu messenden FlĂ€chen können fast beliebige Form haben (unregelmĂ€Ăige Polygone, andere unregelmĂ€Ăige FlĂ€chen, Höhenlinien oder GrundstĂŒcke), mĂŒssen aber stetige und stĂŒckweise glatte RĂ€nder haben. Die ganze FlĂ€che muss in der Reichweite des Fahrarmes liegen, d. h. einen Durchmesser haben, der kleiner ist als das Doppelte der FahrarmlĂ€nge (meist 20â30 cm). Die Genauigkeit liegt bei typischerweise ca. 1 Promille, bei speziellen GerĂ€ten auch höher.
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Es gibt verschiedene Arten von Planimetern wie Polarplanimeter, Scheiben- und Rollenplanimeter, von denen das erstere am meisten verbreitet ist.
Das Polarplanimeter wurde 1854 vom Schaffhauser 'Mechaniker' und Unternehmer Jakob Amsler-Laffon erfunden.
Das GerÀt hat einen festen Pol, der in die NÀhe der zu messenden FlÀche gesetzt wird. Dann fÀhrt man den Rand der FlÀche möglichst genau ab, was zum Beispiel auf Landkarten oder KatasterplÀnen mit Ungenauigkeiten von etwa 0,1 bis 0,3 mm möglich ist.
Die mechanische Konstruktion von Planimetern beruht auf einem Prinzip von Leonhard Euler, das der bekannte Mathematiker fĂŒr die Berechnung infinitesimaler FlĂ€chen entwickelt hat, sowie auf dem Satz von Green.
Eulers Prinzip besagt, dass eine infinitesimale FlÀche aus einem infinitesimalen Parallelogramm plus einer infinitesimalen DreiecksflÀche zusammensetzbar ist. Die DreiecksflÀche wiederum besteht aus einem (endlichen) Radius sowie einem infinitesimalen Winkel.
Im Planimeter werden nun wÀhrend der Umfahrung der FlÀche mit dem Messstift oder einer Messlupe mit Fadenkreuz die kleinen Winkel fortlaufend aufsummiert (integriert). Entscheidend bei diesem Vorgang ist, dass axiale Verschiebungen der Rolle (d. h. Verschiebungen in Richtung der Drehachse) auf der Planunterlage idealerweise keinen Einfluss auf die Drehung der Rolle haben (sozusagen perfekter Schlupf in axialer Richtung).
An einer Skala, die mit einem Nonius oder einer anderen optischen Einrichtung zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit versehen ist, kann der FlÀcheninhalt direkt abgelesen werden.
Die an der Rolle abgelesene MaĂzahl der FlĂ€che ist insbesondere auch proportional zur LĂ€nge des Fahrarms. Durch Verstellung der FahrarmlĂ€nge kann ein Planimeter also an verschiedene MaĂeinheiten (Quadratzentimeter, square inch, ...) oder an verschiedene Zeichnungs-MaĂstĂ€be angepasst werden. Die Ungenauigkeit bei dieser Einstellung geht aber direkt ins Endergebnis ein. Manche Planimeter sind mit einem Fahrarm verstellbarer LĂ€nge mit entsprechender Einstellskala versehen, manche mit einem Fahrarm fixer LĂ€nge.
Die Genauigkeit der FlĂ€chenbestimmung kann innerhalb gewisser Grenzen noch gesteigert werden, indem man die zu bestimmende FlĂ€che vergröĂert und nach der Planimetrierung das Resultat durch das Quadrat des linearen VergröĂerungsfaktors dividiert.
Die Anwendung des Verfahrens ist nur durch die BaugröĂe des Planimeters beschrĂ€nkt. Bei sehr groĂen FlĂ€chen kann man jedoch den Pol in deren Mitte setzen (Verfahren âPol innenâ), womit sie fast 4 mal so groĂ sein kann wie beim normalen Modus âPol auĂenâ.
Es gibt auch Spezialplanimeter zur Bestimmung des statischen Moments, des TrÀgheitsmoments oder höherer Momente beliebiger FlÀchen (sogenannte Momentenplanimeter). Diese wurden z. B. im Schiffbau bei der Auslegung von Dampfmaschinen und Dieselmotoren eingesetzt, um die maschinenbedingten Schlingerbewegungen des Schiffes zu minimieren.
Commons: Planimeter â Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
