Die Potenzregel ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen <math>f(x) = x^n</math>. Sie lautet:

<math> f'(x) = ( x^n )' = n \cdot x^{n-1} </math>.

Beispielsweise ist <math> ( x^4 )' = 4 \cdot x^3 </math>.

Verallgemeinerung

Die Potenzregel gilt auch für Potenzfunktionen <math>f(x) = x^s</math>, deren Exponent (Hochzahl) <math>s</math> keine ganze Zahl ist^[1]:

<math>f'(x) = s \cdot x^{s-1}, \quad s \in \R</math>

Herleitung

1. Fall: Der Exponent ist eine natürliche Zahl

Die Ableitung einer Potenzfunktion an der Stelle x ist der Grenzwert:

<math> ( x^n )' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^n - x^n}{\Delta x} </math>.

Nach dem binomischen Lehrsatz ist dies gleich

<math> \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 0} x^n + {n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n - x^n}{\Delta x} </math>

geschrieben mit so genannten Binomialkoeffizienten. Daraus folgt dann die Potenzregel:

<math> ( x^n )'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{{n \choose 1} x^{n-1} {\Delta x} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x}^2 + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-1} + {n \choose n} {\Delta x}^n}{\Delta x} </math>

<math> = \lim_{\Delta x \to 0} {n \choose 1} x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} {\Delta x} + \dots + {n \choose n-1} x {\Delta x}^{n-2} + {n \choose n} {\Delta x}^{n-1} </math>

<math> = {n \choose 1} x^{n-1} = n \cdot x^{n-1} </math>.

Bildlich veranschaulicht wächst ein 'n-dimensionaler Würfel' in genau n Richtungen (entlang den n Koordinatenachsen) um '(n-1)-dimensionale Würfel' an. Ein Quadrat wächst (bzw. kristallisiert) also marginal um 2 Seitenlinien, und ein Würfel wächst um 3 Quadrate.

2. Fall: Beliebiger Exponent

Man benutzt die Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion: <math>x^s = (e^{\ln x})^s = e^{s \cdot \ln x}</math> und leitet mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel für die Exponentialfunktion^[2] ab:

<math>(x^s)'= (e^{s \cdot \ln x})' = e^{s \cdot \ln x} \cdot (s \cdot \ln x)'</math>

Für die innere Ableitung benutzt man die Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion:

<math>(s \cdot \ln x)'= s \cdot \frac 1 x</math>

Indem man dies einsetzt und für <math>(e^{s \cdot \ln x})</math> wieder <math>x^s</math> schreibt, erhält man

<math>(x^s)' = x^s \cdot s \cdot \frac 1 x = s \cdot x^{s-1}</math>

Diese Herleitung gilt nur für <math>x \ne 0</math>. Für <math>s>1</math> ist die Funktion <math>f(x) = x^s</math> aber auch an der Stelle <math>x = 0</math> differenzierbar und die Regel gilt auch an der Stelle <math>x = 0</math>. Man berechnet direkt mithilfe des Differenzenquotients:

<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\Delta x)^s - 0^s}{\Delta x -0} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x)^{s-1} = 0 = s \cdot 0^{s-1}</math>

Einzelnachweise

1. ↑ Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.9)
2. ↑ Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag (1976), ISBN 3-499-27024-2, §15, Beispiel (15.16)