Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen <math>u(x)</math> und <math>v(x)</math> von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle <math>x = x_a</math> mit <math>v(x_a)\neq 0</math> differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

<math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}</math>

an der Stelle <math>x_a</math> differenzierbar und es gilt:

<math> f'(x_a) = \frac{u'(x_a)\cdot v(x_a) - u(x_a)\cdot v'(x_a)}{(v(x_a))^2} </math>.

In Kurzschreibweise:

<math>

\left(\frac{u}{v}\right)' =
 \frac{u'v - u v'}{v^2} 

</math>

Erklärung

Der Quotient <math> u(x) \over v(x) </math> kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

<math> { \Delta \left( {u \over v} \right) } = {{{ u + \Delta u } \over { v + \Delta v }} - { u \over v }} = {{ ( u + \Delta u ) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v ) } \over { ( v + \Delta v ) \cdot v }} </math>

<math> = {{ \Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }} </math>

Dividiert man durch Δx, so folgt

<math> {{{ \Delta \left( {u \over v} \right) } \over {\Delta x}}} = {{{ \Delta u \over \Delta x } \cdot v - u \cdot {\Delta v \over \Delta x} } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }} </math>

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

<math> {{\left( {u \over v} \right) '}} = {{ u ' \cdot v - u \cdot v ' } \over { v^2 }} </math>

wie behauptet.

Beweis

Gegeben sei <math> f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}.</math> Nach der Produktregel gilt:

<math> f'(x) = \left( u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \right)' = u'(x) \frac{1}{v(x)} + u(x) \left( \frac{1}{v(x)} \right)'.</math>

Nach der Kehrwertregel (ergibt sich z.B. direkt oder mit Hilfe der Kettenregel)

<math> \left( \frac1{v(x)} \right)' = - \frac{v'(x)}{v^2(x)}.</math>

folgt:

<math> f'(x) = u'(x) \frac1{v(x)} + u(x) \left( - \frac{v'(x)}{v^2(x)}\right)

= \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)}.</math>

Ein alternativer Beweis gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung <math> f(x)\cdot v(x) = u(x) </math>

<math> f'(x)\cdot v(x) + f(x)\cdot v'(x) = u'(x)</math>

folglich:

<math> f'(x) = \frac{u'(x)}{v(x)} - \frac{u(x)}{v(x)}\cdot\frac{v'(x)}{v(x)} = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)}.</math>

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus, 1979, Springer New York