Die Reziprokenregel dient zur Ableitung von mathematischen Funktionen der Form

<math>f(x)=\frac{1}{v(x)}</math>

Ist die Funktion <math>v(x)</math> von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle <math>x_a</math> mit <math>v(x_a)\neq 0</math> differenzierbar, dann ist auch die Funktion f an der Stelle <math>x_a</math> differenzierbar und es gilt für die Ableitung:

<math>f'(x_a) = \left[\frac{1}{v}\right]'(x_a) = \left[v^{-1}\right]'(x_a) = (-1)\cdot v^{-2}(x_a) \cdot v'(x_a) = -\frac{v'(x_a)}{(v(x_a))^2}</math>

Die Reziprokenregel lautet damit wie folgt in Kurzschreibweise:

<math>\left[\frac{1}{v}\right]' = -\frac{v'}{v^2}</math>

Die Reziprokenregel ist ein Spezialfall der Quotientenregel mit <math>{u(x)=1}</math>.

Beispiel

Die Ableitung der Funktion

<math>f(x)=\frac{1}{\sin(x)}</math>

berechnet sich an allen Stellen, an denen <math>\sin(x) \neq 0</math> ist, nach obiger Reziprokenregel zu

<math>f'(x)=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}</math>,

denn die Kosinusfunktion ist die Ableitung der Sinusfunktion.