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In der Mathematik treten die Begriffe Supremum, Infimum, obere/untere Schranke, nach oben/unten beschränkt bei der Untersuchung halbgeordneter Mengen auf. Anschaulich ist das Supremum die kleinste obere Schranke und das Infimum die größte untere Schranke. Das Konzept der Beschränktheit im Sinn der Existenz von solchen Schranken wird in unterschiedlichen Abwandlungen in fast allen mathematischen Teilgebieten verwendet.
Inhaltsverzeichnis |
Das Supremum (auf deutsch „obere Grenze“) einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist – anschaulich gesprochen – ein Element, welches „über“ allen oder „jenseits“ (oberhalb) aller anderen Elemente liegt. Der Ausdruck „über den anderen“ soll andeuten, dass das Supremum nicht das größte Element „unter den anderen“ sein muss, sondern durchaus auch außerhalb („jenseits“) der Menge liegen kann. Und weil es mehrere Elemente geben kann, die dieser Anschauung entsprechen, wird aus Eindeutigkeitsgründen das kleinste Element gewählt, welches diese Eigenschaft hat; sozusagen das Element, das am „nächsten“ oder „unmittelbar“ über allen anderen liegt. (Das Supremum bezeichnet also ein „unmittelbar Darüberliegendes“.) Elemente, die zwar über allen Elementen einer Menge liegen, aber nicht zwingend in unmittelbarer Weise, heißen obere Schranken. Damit ergibt sich dann die Definition des Supremums als kleinste obere Schranke einer Menge.
Das Infimum (deutsch "untere Grenze") einer Menge ist analog definiert, als „unmittelbar Darunterliegendes“ bzw. größte untere Schranke.
Diese Anschauung lässt sich leicht auf Mengen von reellen Zahlen (als Untermengen der reellen Zahlen) übertragen: Sei
die Menge der reellen Zahlen kleiner als 2. Dann ist 2 das Supremum von X (in <math>\Bbb R</math>). Denn 2 ist eine obere Schranke von X, da sie größer oder gleich (tatsächlich sogar echt größer) als jedes Element von X ist – also „darüberliegt“. Aber im Gegensatz etwa zu der Zahl 4, die auch eine obere Schranke ist, gibt es keine Zahl kleiner als 2, die auch obere Schranke von X ist. Daher ist 2 kleinste obere Schranke von X, mithin Supremum.
Durch eine kleine Abänderung wird sodann die Verwandtschaft von Supremum und Maximum deutlich. Das Maximum ist nämlich das größte Element „unter allen Elementen“ einer Menge:
Offenbar hat X kein Maximum, da es zu jeder reellen Zahl <math>a<2</math> wieder eine reelle Zahl <math>b<2</math> gibt, die größer als <math>a</math> ist. (Der Leser möge sich veranschaulichen, dass beispielsweise <math>b=\tfrac{a+2}2</math> gewählt werden kann!) Die Zahl 2 ist als Supremum zwar größer als alle Elemente von X, liegt aber nicht in X, da sie nicht echt kleiner als sie selbst ist. Betrachten wir nun die Menge
so ist 2 Maximum von Xʹ, da sie kleiner-gleich als sie selbst ist und es auch keine größere Zahl als 2 gibt, die kleiner-gleich 2 ist. Gleichfalls ist 2 aber auch Supremum von Xʹ wie schon von X, da dieselben Bedingungen wie dort erfüllt sind.
Tatsächlich ist jedes Maximum immer auch Supremum. Daher ist es auch üblich, den Begriff Maximum gar nicht elementar zu definieren, sondern ihn als Sonderfall des Supremums zu benennen, wenn dieses selbst Element der Menge ist, dessen Supremum es darstellt. – Analog gilt das für das Minimum.
Obere und untere Schranken sowie Suprema und Infima können jedoch nicht nur auf den reellen Zahlen, sondern allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden. Die formalen Definitionen lauten wie folgt:
Ist M eine halbgeordnete Menge mit Halbordnung <math>\leq</math> und T eine Teilmenge von M so gilt:
Ist M die Menge der reellen Zahlen, so gilt:
Der Begriff des Supremums auf Mengen wird sinngemäß auch auf Abbildungen (Funktionen) angewendet. Denn das Bild einer Abbildung ist ja immer auch eine Menge. Nämlich für eine Abbildung
die Menge
f(X) :
= \{f(x): x \in X\}
= \{y \in Y : y = f(x)\ f\ddot ur\ ein\ x \in X\}
</math> der sogenannten Elementbilder, d.h. der Bilder der einzelnen Elemente von X unter der Abbildung f.
Ist nun Y eine halbgeordnete Menge, so definiert man
als das Supremum von f auf X – sofern es in Y existiert.
Analog wird das Infimum von f auf X definiert.
Fasst man eine Folge a1, a2, a3, … von Elementen aus Y als Abbildung
auf – also gemäß
– so ergibt sich aus der Definition des Supremums (Infimums) von Abbildungen sofort die Definition des Supremums (Infimums) einer Folge (an) – sofern es in Y existiert.
Ist b eine obere Schranke von T und c > b, so ist auch c eine obere Schranke von T. Ist umgekehrt c keine obere Schranke von T und b < c, so ist auch b keine obere Schranke von T. Analoges gilt für untere Schranken.
Das Supremum von T ist (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt. Dasselbe gilt für das Infimum von T.
Es ist möglich, dass eine Teilmenge T einer halbgeordneten Menge M mehrere minimale obere Schranken hat, d.h. obere Schranken, so dass jedes kleinere Element keine obere Schranke ist. Sobald T jedoch mehr als eine minimale obere Schranke hat, gibt es keine kleinste obere Schranke, d.h. kein Supremum, von T. Ein Beispiel ist die Menge <math>M = \{a,\ b,\ c,\ d\}</math> mit der Halbordnung <math>\{a<c,\ b<c,\ a<d,\ b<d\}</math>. Hier hat <math>T = \{a,\ b\}</math> die beiden minimalen oberen Schranken c und d.
Sei <math>X</math> eine nichtleere Teilmenge der Reellen Zahlen, dann gilt außerdem für das
Die Existenz des Supremums für eine beschränkte Teilmenge <math>M</math> der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden:
Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen. Diese Forderung wird oft Supremumsaxiom oder Vollständigkeitsaxiom genannt.
Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, kann man wie folgt vorgehen: Man konstruiert eine Intervallschachtelung, die das Supremum einschließt. Dazu konstruiert man zwei Folgen, von denen die erste, <math>(a_n)</math>, monoton wachsend ist und nicht aus oberen Schranken von <math>M</math> besteht, die zweite, <math>(b_n)</math>, monoton fallend ist und aus oberen Schranken von <math>M</math> besteht, so dass noch gilt, dass die Abstände entsprechender Folgeglieder gegen 0 gehen (indem man jeweils die Intervallmitte betrachtet und entscheidet, ob sie eine obere Schranke ist oder nicht).
Damit erhält man den gemeinsamen Grenzwert <math>\sup M</math> der beiden Folgen als kleinste obere Schranke von <math>M</math>, denn:
Jedes Element von <math>M</math> ist kleiner oder gleich jedem Element <math>b_n</math> der oberen Folge, also kleiner oder gleich <math>\sup M</math>, somit ist <math>\sup M</math> eine obere Schranke von <math>M</math>.
Und jede reelle Zahl, die kleiner ist als <math>\sup M</math>, ist kleiner als wenigstens ein Element <math>a_{n_0}</math> (für ein gewisses <math>n_0</math>) der unteren Folge, also keine obere Schranke.
Eine äquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom, nachdem jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.
Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen.
Auf <math>\mathbb{R}</math> hat jede nicht-leere nach oben bzw. unten beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum. Betrachtet man andere Mengen, auf denen Ordnungsrelationen definiert sind, so ist dies nicht zwingend:
