Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn z. B. bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“. So ist beispielsweise die Zahl <math>8</math> durch <math>4</math> teilbar, da <math>8 : 4</math> genau <math>2</math> ergibt, somit sind <math>4</math> und <math>2</math> Teiler von <math>8</math>. Andererseits ist die Zahl <math>9</math> nicht durch <math>4</math> teilbar, weil die <math>4</math> zweimal in die <math>9</math> geht, aber als Rest <math>1</math> übrig bleibt.

Der Begriff Teilbarkeit wird in der Algebra von den ganzen Zahlen auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.

Formale Definition

Eine ganze Zahl <math>a</math> teilt eine ganze Zahl <math>b</math> genau dann, wenn es eine ganze Zahl <math>n</math> gibt, für die gilt: <math>a\cdot n = b</math>. Man sagt dann auch „<math>a</math> ist Teiler von <math>b</math>“, „<math>b</math> ist teilbar durch <math>a</math>“, „<math>b</math> ist Vielfaches von <math>a</math>“ und schreibt formal <math>a \mid b</math>.

Wegen des Distributivgesetzes ist <math>0\cdot n = 0</math> für alle <math>n</math>, so dass das einzige Vielfache der <math>0</math> die <math>0</math> selbst ist. Also gilt <math>0 \mid b</math> genau dann, wenn <math>b</math> ebenfalls <math>0</math> ist. Andererseits ist ein jedes <math>n</math> ein (trivialer) Teiler der <math>0</math>, und <math>0</math> eines seiner (trivialen) Vielfachen. (In nullteilerfreien Ringen gibt es keinen nicht-trivialer Teiler der <math>0</math>.)

Die <math>1</math> ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit <math>1</math> ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen <math>e=\pm 1</math> gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element <math>e' \; (=e)</math> mit <math>e \cdot e'= 1</math>. Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings <math>\Z</math> der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen <math>\pm 1</math>. (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte <math>a \mid b</math> und <math>b \neq 0</math>. Ist <math>a</math> keiner der trivialen Teiler <math>\pm 1, \pm b</math>, so nennt man <math>a</math> einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von <math>b</math>. Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie <math> >1</math> ist, Primzahl. Ist <math>a</math> eine Primzahl, so heißt <math>a</math> Primteiler oder Primfaktor von <math>b</math>.

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl <math>n</math> nennt man die „Teilermenge von <math>n</math>“. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von <math>n</math>“.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl <math>n</math> heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen <math>\Z</math> ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Die Anzahl der Teiler ist eine zahlentheoretische Funktion.

Eigenschaften der Teilbarkeit

• Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten <math>\pm 1</math> Teiler einer jeden ganzen Zahl.
• Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der <math>0</math>.
• Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung).
• Der kleinste positive Teiler <math>\neq 1</math> einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> ganze Zahlen.

• Gilt <math>a \mid b</math>, so gilt auch <math>-a \mid b</math> und <math>a \mid -b</math>. Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
• Gilt <math>a \mid b</math> und <math>b \mid c</math>, so folgt <math>a \mid c</math> (Transitivität der Quasiordnung).
• Für <math>k\in\Z\setminus\{0\}</math> gilt: <math>a\mid b\Leftrightarrow ka\mid kb</math>
• Gilt <math>a \mid b</math> und <math>c \mid d</math>, so gilt auch <math>ac \mid bd</math>.
• Gilt <math>a \mid b</math> und <math>a \mid c</math>, so gilt auch <math>a \mid kb + lc</math> für alle ganzen Zahlen <math>k</math> und <math>l</math>.
• Gilt <math>a \mid b</math> und <math>b \mid a</math> so ist <math>a = b</math> oder <math>a = -b</math>.

Die natürlichen Zahlen <math>\N_0</math> sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die <math>1</math> (<math>1</math> teilt jedes andere), das größte ist die <math>0</math> (<math>0</math> wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Zweier-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
• Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist, oder aber wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl Nullen sind.
• Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist, oder aber die letzten 3 Ziffern der Zahl Nullen sind.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>2^n</math> teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten <math>n</math> Ziffern gebildet wird, durch <math>2^n</math> teilbar ist.

Fünfer-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
• Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
• Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>5^n</math> teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten <math>n</math> Ziffern gebildet wird, durch <math>5^n</math> teilbar ist.

Zehner-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>10^n</math> teilbar, wenn ihre letzten <math>n</math> Ziffern jeweils 0 sind.

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen

• Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>2^m5^n</math> teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten <math>\max(m, n)</math> Ziffern gebildet wird, durch <math>2^m5^n</math> teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen

Zahlen der Form 1…1 (Repunitzahlen)

• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Das ist auch genau dann der Fall, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 4er-Quersumme durch 1111 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>\textstyle 1 \ldots 1 = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k</math> teilbar, wenn ihre nichtalternierende <math>n</math>-Quersumme durch <math>1 \ldots 1</math> teilbar ist.

Zahlen der Form 9…9

• Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>9 \ldots 9 = 10^n - 1</math> teilbar, wenn ihre nichtalternierende <math>n</math>-Quersumme durch <math>10^n-1</math> teilbar ist.

Zahlen der Form 100…001

• Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
• Allgemein ist eine Zahl genau dann durch <math>100 \ldots 001 = 10^n + 1</math> teilbar, wenn ihre alternierende <math>n</math>-Quersumme durch <math>10^n+1</math> teilbar ist.

Weitere Regeln

• Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
• Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.

Will man für eine Zahl <math>x</math> eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder <math>10^n-1</math> oder <math>10^n+1</math> für ein beliebiges <math>n</math> ist. Ist das Vielfache <math>10^n-1</math>, dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch <math>x</math> teilbar, wenn ihre nichtalternierende <math>n</math>-Quersumme durch <math>x</math> teilbar ist.“ Ist das Vielfache hingegen <math>10^n+1</math>, dann gilt die Teilbarkeitsregel „Eine Zahl ist genau dann durch <math>x</math> teilbar, wenn ihre alternierende <math>n</math>-Quersumme durch <math>x</math> teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass <math>7 \cdot 143 = 1001 = 10^3+1</math>. Daraus ergibt sich dann die obige Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die oben angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

Teilbarkeit durch 7

Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln.

Im Babylonischen Talmud findet sich eine Teilbarkeitsregel, bei der man letztendlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist.^[1] Dazu wird eine Zahl an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl <math>a</math> und die letzten beiden Ziffer die Zahl <math>b</math>. 3815 wird beispielsweise in die Zahlen <math>a = 38</math> und <math>b = 15</math> zerlegt. Nun zählt man <math>b</math> und das Doppelte von <math>a</math> zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so <math>2 \cdot a + b = 2 \cdot 38 + 15 = 91</math>. Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

<math>n = 100 \cdot a + b = 98 \cdot a + 2 \cdot a + b</math>

Da 98 und damit auch <math>98 \cdot a</math> durch 7 teilbar ist, ist <math>n</math> genau dann durch 7 teilbar, wenn <math>2 \cdot a + b</math> durch 7 teilbar ist.

Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer <math>b</math> und den Rest <math>a</math> auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen <math>a=381</math> und <math>b=5</math>. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl <math>10a + b</math> ist genau dann durch 7 teilbar, wenn <math>a - 2b</math> durch 7 teilbar ist.

Für 3815 muss man also überprüfen, ob <math>381 - 2 \cdot 5 = 371</math> durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da <math>37 - 2 \cdot 1 = 35 = 5 \cdot 7</math> durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar.^[2]

Man kann eine Zahl <math>n</math> auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl <math>a</math> und die Ziffern davor die Zahl <math>b</math> bilden. Dann zieht man <math>b</math> von <math>a</math> ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

<math>n = 1000 \cdot b + a = 1001 \cdot b + (a-b)</math>

und <math>1001 \cdot b</math> durch 7 teilbar ist, ist <math>n</math> genau dann durch 7 teilbar, wenn <math>a-b</math> durch 7 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 19

Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen, spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer <math>b</math> und den Rest <math>a</math> auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen <math>a=790</math> und <math>b=4</math>. Dann gilt folgender Satz:

Eine Zahl <math>10a + b</math> ist genau dann durch 19 teilbar, wenn <math>a + 2b</math> durch 19 teilbar ist.^[3]

Für 7904 muss man also überprüfen, ob <math>798 = 790 + 2 \cdot 4</math> durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da <math>79 + 2 \cdot 8 = 95 = 5 \cdot 19</math> durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen

Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl <math>n</math> zu überprüfen, verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch <math>75 = 3 \cdot 5^2</math> teilbar, wenn sie durch <math>5^2 = 25</math> und 3 teilbar ist. Das heißt, ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein.

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen

In einem Zahlensystem zur Basis <math>B</math> lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler <math>T</math> finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von <math>B^n</math>, <math>B^n - 1</math> oder <math>B^n + 1</math> sind. <math>n</math> sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

B=2: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,21,31,32,33,63,64,65, …

B=3: Teiler 2,3,4,5,7,8,9,10,13,14,16,20,26,27,28,40,41,80,81,82, …

B=4: siehe B=2

B=5: Teiler 2,3,4,5,6,7,8,9,12,13,14,18,24,25,26,31,39,62,63,78,124,125,126,156,312,313,624,625,626,…

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:

• Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form 2ⁿ-1 teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis 2ⁿ die Quersumme durch 2ⁿ-1 teilbar ist. Die Darstellung zur Basis 2ⁿ ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von n Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis 2ⁿ. Zum Beispiel ist 91₁₀ durch 7₁₀ = 2³-1 teilbar, weil 91₁₀ = 001 011 011₂ = 133₈ im Oktalsystem (Basis 2³) die Quersumme 1₈+3₈+3₈ = 7₁₀ hat.
• Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
• Eine Zahl ist durch n teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als <math>n</math>-basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe

Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei <math>R</math> ein kommutativer Ring. Sind <math>a, b \in R</math> Ringelemente, dann ist <math>a</math> ein Teiler von <math>b</math>, falls ein weiteres Ringelement <math>n \in R</math> mit <math>a \cdot n = b</math> existiert.

In Ringen teilt <math>a</math> genau dann <math>b</math>, wenn das von <math>a</math> erzeugte Hauptideal <math>(a)</math> das von <math>(b)</math> erzeugte umfasst, formal: <math>a \mid b \Leftrightarrow (a) \supseteq (b)</math>.

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von <math>2</math> erzeugte Hauptideal <math>(2)</math> ist die Menge aller Vielfachen von <math>2</math>, <math>(4)</math> dementsprechend die Menge aller Vielfachen von <math>4</math>. <math>(2) \supseteq (4)</math>, also ist <math>2</math> ein Teiler von <math>4</math>.

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

Nicht-kommutative Ringe

Bei nicht-kommutativen Ringen <math>R \, </math> muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „<math>\mid</math>“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.

Von zwei Elementen <math>a,b \in R </math> heißt <math>a \, </math> linker Teiler von <math>b \, </math>, falls ein <math>x \in R </math> mit <math> b = a \cdot x</math> existiert. Dann ist auch <math>b \, </math> rechtes Vielfaches von <math>a \, </math>. Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale <math>b \cdot R \subseteq a \cdot R</math>. Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.

Körper

In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer <math>0</math> teilbar, d. h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.

Siehe auch

• Modulo, Kongruenz
• Teilersumme, Teilerbild, Teilerfremdheit
• gemeinsamer Teiler, größter gemeinsamer Teiler

Quellen

• Fritz Reinhardt, dtv -Atlas: Schulmathematik (Deutscher Taschenbuch Verlag 2002)
• Eric W. Weisstein, Divisibility tests auf Mathworld (engl.)
• http://www.olympiade-mathematik.de/teilb.php

Weblinks

 Wiktionary: Teilbarkeit â€“ Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Ãœbersetzungen

• Die Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen

Einzelnachweise

1. ↑ Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume I : Divisibility and Primality. Dover Publications, ISBN 978-0-486-44232-7, S. 337
2. ↑ Siegfried Moser. Mit Zahlen spielen. Humboldt-Taschenbuchverlag, München 1992.
3. ↑ Beweis der Teilbarkeit durch 19