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Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen. Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist.
Anschaulich, aber mathematisch unpräzise, kann man sich den Tensor als eine mehrdimensionale Matrix vorstellen:
Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer aus. Eine Matrix <math>M</math> kann als lineare Abbildung aufgefasst werden. So lässt sich der Spannungstensor als Matrix auffassen, die zu einer gegebenen Richtung <math>v</math> die Spannung <math>M\cdot v</math> in dieser Richtung ausrechnet.
Aber nicht alle Größen mit zwei oder mehr Indizes sind Tensoren (deshalb oben die Bemerkung „... unpräzise“).
Inhaltsverzeichnis |
Das Wort Tensor (lat. tendo „ich spanne“) wurde in den 1840er Jahren von Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn.
Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.
In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt.
Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.
Der Begriff des Tensors wird sowohl in der Physik als auch in der Mathematik verwendet. In der Mathematik wird dieses Objekt meistens in der Algebra und der Differentialgeometrie betrachtet. Dabei wird eine koordinatenunabhängige Notation bevorzugt, in den Anwendungen wie in der Physik verwendet man dagegen meist die Indexnotation von Tensoren. Weiterhin werden in der Physik häufig Tensorfelder behandelt, die häufig auch einfach als Tensoren bezeichnet werden. Ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet; viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern.
Insbesondere in der Tensoranalysis (einem Teilgebiet der Differentialgeometrie) und der Physik ist die einsteinsche Summenkonvention beliebt. Sie verkürzt die Schreibweise von Tensoren. Die Konvention besagt, dass Summenzeichen weggelassen werden können und dabei automatisch über Indizes summiert wird, welche einmal oben und einmal unten stehen. Ein einfaches Beispiel ist die Matrixmultiplikation. Seien <math>A, B</math> zwei Matrizen mit den Komponenten <math>A_{ik}</math> und <math>B_{kj}</math>. Dann lautet die Komponentendarstellung des Matrixproduktes
Mit der einsteinschen Summenkonvention schreibt man
Die Begriffe ko- und kontravariant beziehen sich im Zusammenhang mit der Tensorrechnung auf die Koordinatendarstellungen von Vektoren, Linearformen und Tensoren höherer Stufe. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.
Legt man in einem n-dimensionalen Vektorraum V eine Basis <math>(e_1,\dots,e_n)</math> fest, so kann jeder Vektor v dieses Raumes durch ein Zahlentupel <math>(x^1,\dots,x^n)</math>, seine Koordinaten, gemessen und dargestellt werden, <math>v=e_k\,x^k</math>. Geht man zu einer anderen Basis von V über, so ändert sich der Vektor selbst nicht, aber die Koordinaten der neuen Basis werden andere sein. Genauer: Ist die neue Basis durch <math>e'_j=e_k\,A^k{}_j</math> in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in
also <math>x^k=A^k{}_j\,x'^j</math> oder
Dreht man zum Beispiel eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum <math>V</math> um <math>30^\circ</math> um die z-Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im Koordinatenraum <math>\R^3</math> ebenfalls um die z-Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung um <math>-30^\circ</math>.
Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man kontravariant. Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, so dass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.
Eine Linearform oder Kovektor <math>\alpha\in V^*</math> ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung <math>\alpha:V\to\mathbb K</math> auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, <math>\alpha_k=\alpha(e_k)</math>, zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als
weshalb man dieses Transformationsverhalten kovariant nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.
Diese Kurzbezeichnung wird auf Tensorprodukte ausgedehnt (Symbol: Tensormultiplikation <math>\otimes ).</math> Faktoren, die Vektorräume sind, nennt man kontravariant, Faktoren, die Dualräume sind, nennt man kovariant.
Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional. Mit <math>L(E;K)</math> bezeichne man die Menge aller Linearformen aus dem <math>K</math>-Vektorraum <math>E</math> in den Körper <math>K</math>. Sind <math>E_1, \dots, E_k</math> Vektorräume über <math>K</math>, so werde der Vektorraum der Multilinearformen <math>E_1 \times E_2 \times \dots \times E_k \to K</math> mit <math>L^{k}(E_1,E_2,\dots,E_k;K)</math> bezeichnet.
Ist <math>E</math> ein K-Vektorraum, so wird mit <math>E^*</math> sein Dualraum bezeichnet. Dann ist <math>L^{k}(E_1^*,E_2^*,\dots,E_k^*;K)</math> eine Realisierung des Tensorproduktes
Setze nun für einen fixierten Vektorraum <math>E</math> mit Dualraum <math>E^*</math>
mit r Einträgen von <math>E^*</math> und s Einträgen von <math>E</math>. Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt
\underbrace{E\otimes\dots\otimes E}_{r\text{ Faktoren}} \otimes \underbrace{E^*\otimes\dots\otimes E^*}_{s\text{ Faktoren}} </math> Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe <math>r</math> und kovariant der Stufe <math>s</math>. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ <math>(r,s)</math>. Die Summe r+s heißt Stufe oder Rang des Tensors.
Als (äußeres) Tensorprodukt bezeichnet man eine Verknüpfung <math>\otimes</math> zwischen zwei Tensoren. Sei <math>E</math> ein Vektorraum und seien <math>t_1 \in T_{s_1}^{r_1}(E)</math> und <math>t_2 \in T_{s_2}^{r_2}(E)</math> Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ist der Tensor <math>t_1 \otimes t_2 \in T_{s_1+s_2}^{r_1+r_2}(E)</math>, welcher durch
definiert ist. Hierbei sind die <math>\beta^j, \gamma^j \in E^*</math> und die <math>f_j,g_j \in E</math>.
Im Folgenden seien <math>E</math> und <math>F</math> endlichdimensionale Vektorräume.
Sei <math>E</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math>. Dann ist durch
die sogenannte Tensoralgebra definiert. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, wird <math>\mathrm T(E)</math> zu einer unitären assoziativen Algebra.
Sei <math>E</math> wie oben ein Vektorraum. Dann sind die Räume <math>T^{r}_s(E)</math> ebenfalls wieder Vektorräume. Weiterhin sei <math>E</math> nun endlichdimensional mit der Basis <math>\{e_1, \ldots, e_n\}</math>. Die duale Basis wird mit <math>\{e^1, \ldots, e^n\}</math> bezeichnet. Der Raum <math>T^{r}_s(E)</math> der Tensoren ist dann ebenfalls endlichdimensional und
ist eine Basis dieses Raumes. Das heißt, jedes Element <math>t \in T^{r}_s(E)</math> kann durch
dargestellt werden. Die Dimension dieses Vektorraums ist <math>T_s^r(E) = n^{r+s}</math>. Wie in jedem endlichdimensionalen Vektorraum reicht es auch im Raum der Tensoren zu sagen, wie eine Funktion auf der Basis operiert.
Da die obige Summendarstellung sehr viel Schreibarbeit mit sich bringt, wird oftmals die einsteinsche Summenkonvention verwendet. In diesem Fall schreibt man also
Oftmals identifiziert man die Komponenten des Tensors mit dem Tensor an sich. Siehe dafür unter Tensordarstellungen der Physik nach.
Seien <math>{ e'_{i_1}, \dots, e'_{i_n} }</math> und <math>{ e_{i_1}, \dots, e_{i_n} }</math> jeweils unterschiedliche Basen der Vektorräume <math> V_1, \dots , V_n \ </math>. Jeder Vektor, also auch jeder Basisvektor <math>{ e'_{1_1} }</math> kann als Linearkombination der Basisvektoren <math>{ e_{i_1} }</math> dargestellt werden. Der Basisvektor <math>e'_{i_l} </math> werde dargestellt durch:
Die Größen <math>a_{j_l,i_l}</math> bestimmen also die Basistransformation zwischen den Basen <math>e'_{i_l}</math> und <math>e_{i_l}</math>. Das gilt für alle <math>l=1,\dots, n</math>. Dieses Verfahren wird Basiswechsel genannt.
Ferner seien <math>T'_{{i_1}, \dots , {i_n}}</math> die Koordinaten des Tensors <math>T</math> bezüglich der Basis <math> e'_{i_1}, \dots, e'_{i_n} </math>. Dann ergibt sich für das Transformationsverhalten der Tensorkoordinaten die Gleichung
Es wird in der Regel zwischen der Koordinatendarstellung des Tensors <math>T'_{{i_1}, \dots ,{i_n}} </math> und der Transformationsmatrix <math>a_{j_1, i_1}\dots a_{j_n, i_n} </math> unterschieden. Die Transformationsmatrix <math>a_{j_1, i_1}\dots a_{j_n, i_n} </math> ist zwar eine indizierte Größe, aber kein Tensor. Im euklidischen Raum sind das Drehmatrizen und in der speziellen Relativitätstheorie z.B. Lorentz-Transformationen, die sich auch als „Drehungen“ in einem vierdimensionalen Minkowskiraum auffassen lassen. Man spricht in diesem Fall auch von Vierertensoren und Vierervektoren.
Neben dem Tensorprodukt gibt es für (r,s)-Tensoren weitere wichtige Operationen.
Das interne Produkt eines Vektors <math>v \in E</math> (bzw. eines (Ko)Vektors <math>\beta \in E^*</math>) mit einem Tensor <math>t \in T^r_s(E;K)</math> ist der <math>(r,s-1)</math> (bzw. <math>(r-1,s))</math>-Tensor, welcher durch
bzw. durch
definiert ist. Dies bedeutet, dass der <math>(r,s)</math>-Tensor <math>t</math> an einem festen Vektor <math>v</math> bzw. festen Kovektor <math>\beta</math> ausgewertet wird.
Gegeben sei ein (r,s)-Tensor und <math>1\leq k\leq r</math> und <math>1\leq l\leq s</math>. Die Tensorverjüngung <math>C^k_l</math> bildet den Tensor
auf den Tensor
&C^k_l\left(\sum \beta_{i_1} \otimes \cdots \otimes \beta_{i_k} \otimes \cdots \otimes \beta_{i_r} \otimes v^{j_1}\otimes\cdots\otimes v^{j_l}\otimes\cdots\otimes v^{j_s}\right)\\ =&\sum \beta_{i_k}(v^{j_l})\cdot(\beta_{i_1}\otimes\cdots\otimes\beta_{i_{k-1}} \otimes\beta_{i_{k+1}}\otimes\cdots\otimes\beta_{i_r}\otimes v^{j_1}\otimes\cdots\otimes v^{j_{l-1}}\otimes v^{j_{l+1}}\otimes\cdots\otimes v^{j_s}) \end{align}</math> ab. Dieser Vorgang heißt Tensorverjüngung oder Spurbildung. Im Fall von (1,1)-Tensoren entspricht die Tensorverjüngung
unter der Identifizierung <math>V^*\otimes V\cong\mathrm{End}(V)</math> der Spur eines Endomorphismus.
Mit Hilfe der einsteinschen Summenkonvention kann man die Tensorverjüngung sehr kurz darstellen. Seien beispielsweise <math>T_i^j</math> die Koeffizienten (bzw. Koordinaten) des zweistufigen Tensors T bezüglich einer gewählten Basis. Will man diesen (1,1)-Tensor verjüngen, so schreibt man oft anstatt <math>C_1^1 (T)</math> nur die Koeffizienten <math>T_i^i</math>. Die einsteinsche Summenkonvention besagt nun, dass über alle gleichen Indizes summiert wird und somit <math>T_i^i</math> ein Skalar ist, die mit der Spur des Endomorphismus übereinstimmt. Der Ausdruck <math>B_{i}{}^{j}{}_{i}</math> ist hingegen nicht definiert, weil nur über gleiche Indizes summiert wird, wenn einer oben und einer unten steht. Hingegen ist also <math>B_{i}{}^{j}{}_{j}</math> ein Tensor erster Stufe.
Sei <math>\phi \in L(E,F)</math> eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, welche kein Isomorphismus zu sein braucht. Der Rücktransport von <math>\phi</math> sei eine Abbildung <math>\phi^* \in L(T^0_s(F),T^0_s(E))</math>, welche durch
definiert ist. Dabei ist <math>t \in T^0_s(F)</math> und <math>f_1 , \ldots , f_s \in E</math>.
Sei <math>\phi : E \to F</math> ein Vektorraumisomorphismus. Definiere den Push-Forward von <math>\phi</math> durch <math>\phi_* \in L(T^r_s(E),T^r_s(F))</math> mit
Dabei ist <math>t \in T^r_s(E)</math>, <math>\beta^1, \ldots , \beta^r \in F^*</math> und <math>f_1, \ldots , f_s\in F</math>. Mit <math>\phi^*(\beta^i)</math> wird der Rücktransport der Linearform <math>\beta^i</math> notiert. Konkret heißt dies <math>\phi^*(\beta^i(.)) = \beta^i(\phi(.))</math>. Analog zum Rücktransport kann man beim Push-Forward auf die Isomorphie von <math>\phi</math> verzichten und diese Operation nur für <math>(r,0)</math>-Tensoren definieren.
In diesem Abschnitt werden Tensorprodukträume definiert. Diese werden typischerweise in der Algebra betrachtet. Diese Definition ist allgemeiner als die der (r,s)-Tensoren, da hier die Tensorräume aus unterschiedlichen Vektorräumen konstruiert werden können.
Es seien <math>V</math> und <math>W</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math>. Sind <math>X,Y</math> weitere <math>K</math>-Vektorräume, <math>b:V\times W\to X</math> eine beliebige bilineare Abbildung und <math>f:X\to Y</math> eine lineare Abbildung, dann ist auch die Verknüpfung <math>(f\circ b):V\times W\to Y</math> eine bilineare Abbildung. Ist also eine bilineare Abbildung gegeben, so kann man daraus auch beliebig viele weitere bilineare Abbildungen konstruieren. Die Frage, die sich ergibt, ist, ob es eine bilineare Abbildung gibt, aus der auf diese Art, durch Verknüpfung mit linearen Abbildungen, alle bilinearen Abbildungen auf <math>V\times W</math> (auf eindeutige Weise) konstruiert werden können. Ein solches universelles Objekt, d.h. die bilineare Abbildung samt ihrem Bildraum, wird als Tensorprodukt von V und W bezeichnet.
Definition: Als Tensorprodukt der Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math>, wird jeder <math>K</math>-Vektorraum <math>X</math> bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung <math>\phi\colon V\times W\to X</math> gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Gibt es einen solchen Vektorraum <math>X</math>, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig. Man schreibt <math>X=V\otimes W</math> und <math>\phi(v,w)=v\otimes w</math>. Die universelle Eigenschaft kann also als <math>b(v,w) = b'(v\otimes w)</math> geschrieben werden. Zur Konstruktion solcher Produkträume sei auf den Artikel Tensorprodukt verwiesen.
In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten.
Es sei <math>K</math> ein Körper und es seien <math>V_1,V_2,\ldots,V_s</math> Vektorräume über dem Körper <math>K</math>.
Das Tensorprodukt <math>V_1 \otimes \cdots \otimes V_s</math> von <math>V_1,\ldots,V_s</math> ist ein <math>K</math>-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form
sind. Dabei gelten für diese Symbole die folgenden Rechenregeln:
=\lambda(v_1\otimes\cdots\otimes v_i\otimes\cdots\otimes v_s),\quad\lambda\in K</math>
Die Tensoren der Form <math>v_1\otimes\cdots\otimes v_s</math> heißen elementar. Jeder Tensor lässt sich als Summe von elementaren Tensoren schreiben, aber diese Darstellung ist außer in trivialen Fällen nicht eindeutig, wie man an der ersten der beiden Rechenregeln sieht.
Ist <math>\{e_i^{(1)},\ldots,e_i^{(d_i)}\}</math> eine Basis von <math>V_i</math> (für <math>i=1,\ldots,s</math>; <math>d_i=\dim V_i</math>), so ist
eine Basis von <math>V_1\otimes\cdots\otimes V_s.</math> Die Dimension von <math>V_1\otimes\cdots\otimes V_s</math> ist also das Produkt der Dimensionen der einzelnen Vektorräume <math>V_1,\ldots,V_s.</math>
Der Dualraum von <math>V_1\otimes\cdots\otimes V_s</math> kann mit dem Raum der <math>s</math>-Multilinearformen
identifiziert werden:
Sind alle betrachteten Vektorräume endlichdimensional, so kann man
miteinander identifizieren, d.h. Elemente von <math>V_1^*\otimes\cdots\otimes V_s^*</math> entsprechen <math>s</math>-Multilinearformen auf <math>V_1\times\cdots\times V_s.</math>
Man kann das Tensorprodukt <math>\mathcal T^2V:=V\otimes V</math> eines Vektorraumes V mit sich selbst bilden. Ohne weiteres Wissen über den Vektorraum kann ein Automorphismus des Tensorprodukts definiert werden, der darin besteht, in den reinen Produkten <math>a\otimes b</math> die Faktoren zu vertauschen,
Das Quadrat dieser Abbildung ist die Identität, woraus folgt, dass es Eigenvektoren zum Eigenwert 1 und zum Eigenwert -1 gibt.
Mittels <math>\mathcal T^{n+1}V:=V\otimes \mathcal T^nV</math> können Tensorpotenzen von V beliebiger Stufe gebildet werden. Entsprechend können weitere paarweise Vertauschungen definiert werden. Nur sind diese nicht mehr voneinander unabhängig. So lässt sich jede Vertauschung der Stellen j und k auf Vertauschungen mit der ersten Stelle zurückführen.
Falls die Vektorräume, welche man miteinander tensorieren will, eine Topologie besitzen so ist es wünschenswert, dass ihr Tensorprodukt ebenfalls eine Topologie besitzt. Es gibt natürlich viele Möglichkeiten eine solche Topologie zu definieren. Das injektive beziehungsweise das projektive Tensorprodukt sind dafür jedoch eine natürliche Wahl.
Ursprünglich wurde der Tensorkalkül nicht in dem modernen hier vorgestellten algebraischen Konzept untersucht. Der Tensorkalkül entstand aus Überlegungen zur Differentialgeometrie. Insbesondere Gregorio Ricci-Curbastro und sein Schüler Tullio Levi-Civita haben ihn entwickelt. Man nennt den Tensorkalkül daher auch Ricci-Kalkül. Albert Einstein griff diesen Kalkül in seiner Relativitätstheorie auf, was ihm große Bekanntheit in der Fachwelt einbrachte. Die damaligen Tensoren werden heute als Tensorfelder bezeichnet und spielen in der Differentialgeometrie auch heute noch eine wichtige Rolle. Im Gegensatz zu Tensoren sind Tensorfelder differenzierbare Abbildungen, die jedem Punkt des zugrundeliegenden (oftmals gekrümmten) Raums einen Tensor zuordnen.
