Dieser Artikel erläutert die Bedeutung des Begriffs Term in der Mathematik; Ein Artikel zum gleichnamigen Begriff aus der Linguistik findet sich unter Terminus.

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In der Mathematik bezeichnet ein Term einen sinnvollen Ausdruck, der Zahlen, Variablen, Symbole für mathematische Verknüpfungen und Klammern enthalten kann. Terme sind die syntaktisch korrekt gebildeten Wörter oder Wortgruppen in der formalen Sprache der Mathematik.

In der Praxis wird der Begriff häufig benutzt, um über einzelne Bestandteile einer Formel oder eines größeren Terms zu reden. So kann man bspw. für die lineare Funktion <math>f(x) = m x + n</math> von einem linearen Term <math>m x</math> und einem konstanten Term <math>n</math> reden.

Umgangssprachliche Erklärung

Der Begriff „Term“ wird umgangssprachlich für alles verwendet, das eine Bedeutung trägt. Im engeren Sinn sind mathematische Gebilde gemeint, die man prinzipiell ausrechnen kann, zumindest wenn man den darin enthaltenen Variablen Werte zugewiesen hat. So ist zum Beispiel <math>(x+y)^2</math> ein Term, denn weist man den darin enthaltenen Variablen <math>x</math> und <math>y</math> einen Wert zu, so erhält auch der Term einen Wert. Statt Zahlen können hier auch andere Werte in Betracht kommen, so ist etwa <math>(p_1 \vee \neg p_2) \wedge p_3</math> ein Term, der einen Wert erhält, wenn man den Boolesche Variablen <math>p_1,p_2,p_3</math> einen Wahrheitswert zuordnet. Die genaue mathematische Definition nimmt allerdings keinen Bezug auf die möglichen Wertzuweisungen, wie unten ausgeführt wird.

Mit Termen können üblicherweise folgende Operationen ausgeführt werden:

• ausrechnen (dazu rechnet man erst die „inneren“ Funktionen aus und dann die äußeren): <math>(2+3)^2=5^2 = 25</math>
• nach bestimmten Rechenregeln umformen: <math>(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2</math> durch Anwendung des Distributivgesetzes und einiger anderer "erlaubter" Regeln.
• miteinander vergleichen, falls Relationen für die passenden Typen definiert sind: <math>2xy \le x^2+y^2</math>
• ineinander einsetzen (oft wird ein Term anstelle einer Variable eines anderen Terms eingesetzt). Eine spezielle Form der Einsetzung ist die Substitution, bei der ein Term mit Variablen durch einen anderen Term mit Variablen (meist eine einzelne Variable) ersetzt wird: <math>(x+y)^2</math> entsteht aus <math>z^2</math> durch Ersetzung von <math>z</math> durch <math>x+y</math>.

Häufig werden Terme oder Teilterme nach ihrer inhaltlichen Bedeutung benannt. Im Term <math>\tfrac{1}{2}mv^2 + mgh</math>, der in der Physik die Gesamtenergie eines Massepunktes beschreibt, nennt man den ersten Summanden "Term der kinetischen Energie". Oft werden auch charakteristische Eigenschaften zur Benennung herangezogen. So ist mit dem "quadratischen Term" in <math>x^3+7x^2-2x+1</math> der Teilterm <math>7x^2</math> gemeint, weil dies der Teilterm ist, der die Variable <math>x</math> in quadrierter Form enthält.

Formale Definition

Die genaue mathematische Definition eines Terms, wie sie in der mathematischen Logik gegeben wird, benennt Regeln, nach denen Terme aufgebaut werden. Ein Term ist dann jeder Ausdruck, der durch Anwendung solcher Regeln entsteht:

• Jede Variable ist ein Term.
• Jedes Konstantensymbol ist ein Term.
• Ist <math>t</math> ein Term, so ist <math>(t)</math> ein Term.
• Sind <math>t_1,\ldots, t_k</math> Terme und ist <math>f</math> ein <math>k</math>-stelliges Funktionssymbol, so ist <math>f(t_1,\ldots, t_k)</math> ein Term.

Anmerkungen:

• Manche Funktionen (beispielsweise die Potenzfunktion, Multiplikation mit Variablen) werden statt durch ein eigenes Funktionssymbol durch Positionierung der Terme zueinander dargestellt (beispielsweise <math>x^y</math> oder <math>xy</math>)
• Bei verschachtelten Klammersetzungen werden manchmal auch [] und {} eingesetzt, um die Zusammengehörigkeit der Klammern deutlicher zu machen, z.B. <math>[2(x+y)]^2</math>
• Es gibt auch klammerfreie Notationen wie etwa die Polnische Notation, diese sind der Regel aber nicht so leicht zu lesen.
• Von einem möglichen Einsetzen von Werten in die Variablen, wie es in der obigen umgangssprachlichen Beschreibung vorkam, ist hier gar nicht die Rede. Ein Term ist hier ein rein syntaktischer Begriff, denn er muss nur gewissen Aufbauregeln genügen. Terme erhalten im Nachhinein eine semantische Bedeutung, indem man die möglichen Werte von Variablen in sogenannten Modellen einschränkt. Die Terme <math>(x+y)^2</math> und <math>x^2+2xy+y^2</math> sind zunächst verschieden, denn sie sind ganz offensichtlich aus unterschiedlichen Aufbauregeln entstanden. Betrachtet man diese Terme aber im Modell der reellen Zahlen, so zeigt sich, dass sie stets dieselben Werte annehmen. Die Termgleichheit <math>(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2</math> ist dann so zu verstehen, dass Gleichheit für alle <math>x,y\in \R</math> besteht. Für andere Modelle kann das durchaus falsch sein, wie zum Beispiel für die Menge der <math>2\times 2</math>-Matrizen.

Beispiel: <math>\tfrac{xy}{4}</math> ist ein Term, denn

• x und y sind Terme (als Variablen),
• 4 ist ein Term (als Konstante),
• xy ist ein Term (eigentlich „multipliziere(x,y)“),
• <math>\tfrac{xy}{4}</math> ist ein Term (Divisionssymbol ist der Bruchstrich)

Variablen in Termen

Treten in einem Term Variablen auf, wie <math>a, b \,\!</math> oder <math>x,y \,\!</math> in obigen Beispielen, so ist zusätzlich anzugeben, aus welcher Grundmenge diese Variablen zu wählen sind. Durch das Einsetzen von Elementen der Grundmenge erhält der Term einen konkreten Wert.

Zu beachten ist, dass der Term nicht unbedingt für alle Elemente der Grundmenge definiert sein muss; so ist beispielsweise für eine Funktion <math>f: \R\to\R</math> und <math>x\in\R</math> der Term <math>\tfrac{1}{f(x)}</math> nur für jene <math>x \,\!</math> definiert, für die <math>f(x)\ne 0</math> gilt; jene Teilmenge der Grundmenge eines Termes, für die der Term wohldefiniert ist, wird als Definitionsmenge des Termes bezeichnet.

Anwendungen

Terme mit Variablen werden beispielsweise in Rechenvorschriften oder Formeln verwendet. So lautet eine Faustformel zum Ausrechnen des Anhalteweges (Bremsweg plus Reaktionsweg) in Metern eines Autos <math>\left(\tfrac{x}{10}\right)^2+\left(\tfrac{x}{10}\cdot3\right)</math>, wobei in diesem Term <math>x</math> die Geschwindigkeit des Autos in km pro Stunde bedeutet. Wenn ein Auto zum Beispiel 160 km/h fährt, liefert die Formel <math>\left(\tfrac{160}{10}\right)^2+\left(\tfrac{160}{10}\cdot3\right)</math> einen Anhalteweg von 304 m.

Terme können auch zur Definition der Zuordnungsvorschrift einer Funktion verwendet werden; das Beispiel des Anhalteweges definiert etwa die Funktion <math>f\colon \R^+_0 \to \R^+_0</math>, <math>x\mapsto\left(\tfrac{x}{10}\right)^2+\left(\tfrac{x}{10}\cdot3\right)</math>.

Wie gesagt sind Terme selbst weder wahr noch falsch; es sind Symbole für Zahlen oder andere mathematische Objekte. Sie können aber zu mathematischen Aussagen wie Gleichungen und Ungleichungen zusammengefügt werden; solche Aussagen sind dann nach Einsetzen aller Variablen entweder wahr oder falsch.

Algebraische Umformungen

Lange, komplizierte Terme können oft vereinfacht werden, indem man auf sie Rechenregeln anwendet, die den Wert des Terms unverändert lassen, beispielsweise das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz oder Distributivgesetz:

<math>(x - 5)(x + 5) + 5(x + 3) \,\!</math>:   Ausmultiplizieren

<math>=x^{2} - 25 + 5x + 15 \,\!</math>:   Gleichartige Ausdrücke zusammenfassen

<math>=x^{2} + 5x - 10 \,\!</math>

Solche algebraischen Umformungen sind von Äquivalenzumformungen für Gleichungen oder Ungleichungen zu unterscheiden. Algebraische Umformungen lassen den Wert eines Termes unverändert, Äquivalenzumformung ändern hingegen die Werte der beteiligten Terme, müssen aber den Wahrheitswert der Aussage unverändert lassen.

Algebraische Umformungen werden auch Termumformungen genannt. Es werden folgende Ziele verfolgt:

• Vereinfachung von Termen
• Aufpumpen von Termen zur Erzeugung gewünschter Strukturen. Beispiel: quadratische Ergänzung
• Herauspräparieren gewünschter Teilterme. Beispiel bei der Cardanischen Formel: <math>(u+v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u+v)</math>

Abgrenzungen

Term und Ausdruck

Der Begriff Term ist mit dem Begriff Ausdruck in formalen Sprachen verwandt. Während aber ein Ausdruck in einer formalen Sprache formal definiert ist, ist Term ein eher unscharf definierter Begriff. Da die Symbolik der Mathematik nicht fix definiert, sondern beliebig erweiterbar ist, ist auch Term ein erweiterbarer Begriff.

Durch Einführung zusätzlicher Definitionen kann eine vorher sinnlose Symbolkette eine Bedeutung bekommen; so kann beispielsweise je nach Zusammenhang die Symbolkette <math>\R^\R</math> sinnlos sein oder auch ein sinnvoller Term für die Menge aller Funktion von <math>\R</math> nach <math>\R</math> sein.

Term und Aussageform

Eine Aussageform ist wie ein Term eine formale Zeichenkette; ihr Aufbau ist gemäß einer Logik definiert, z. B. der Prädikatenlogik. In der Prädikatenlogik erster Stufe mit Gleichheit sind insbesondere folgende Ausdrücke Aussageformen:

Sind <math>t_1, t_2</math> Terme, so ist <math>t_1 = t_2</math> eine Aussageform.

Sind <math>t_1, ... t_k</math> Terme und ist <math>R</math> ein k-stelliges Relationssymbol, so ist <math>R t_1 ... t_k</math> eine Aussageform.

Eine Aussageform enthält wie ein Term möglicherweise Variablen, allerdings wird ihr nach Belegung der freien Variablen kein Wert der Grundmenge, sondern ein logischer Wahrheitswert (wahr oder falsch) zugeordnet.

Eine logische Aussage ist eine Aussageform ohne freie Variablen. Sie entsteht aus einer Aussageform durch Belegung oder durch Quantifikation der freien Variablen.

Formel

Beschreibt ein Term einen anderen Term oder einen Sachverhalt, so entsteht eine Formel. Beispiele:

• <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> (binomische Formel)
• <math>m=\tfrac{a+b}2</math> (arithmetisches Mittel der Zahlen a und b)

Weblinks

 Wiktionary: Term â€“ Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Ãœbersetzungen

• Termumformungen mit didaktischen Hinweisen, Landesbildungsserver Baden-Württemberg