|
Lexikon auf Ihrer Homepage |
|
Lexikon als Lesezeichen hinzufügen |
 |
Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen.
Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen) |
Die Topologie (gr. τόπος, tópos, „Ort“, „Platz“ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Objekte, die unter stetigen Deformationen erhalten bleiben. Solche Deformationen kann man sich im Wesentlichen als Streckungen vorstellen. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor.
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf lateinisch geometria situs (“Geometrie des Ortes”) oder analysis situs (Griechisch-Latein für “Analysieren des Ortes”) genannt wurde. Hieraus entwickelte sich der heute gebräuchliche Name.
Das Wort Topologie ist innerhalb der Mathematik mehrdeutig. Es wird sowohl als Name für das hier beschriebene Fachgebiet benutzt als auch für eine Familie von Mengen, die gewisse Eigenschaften erfüllen, so dass ein Topologischer Raum entsteht. Von besonderer Bedeutung ist der Begriff der Stetigkeit und insbesondere die so genannten Homöomorphismen. Diese lassen sich als stetige Abbildungen, für die eine stetige inverse Abbildung existiert, definieren.
Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der Algebra als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für alle Teilgebiete der Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis, die Theorie der Lie-Gruppen, die Graphentheorie usw. Ihrerseits hat sie auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet.
Die Topologie gliedert sich selbst in mehrere Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die Graphen- und die Knotentheorie. Die Mengentheoretische Topologie kann hierbei als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werde.
Inhaltsverzeichnis |
Die Topologie untersucht die Eigenschaften topologischer Räume, die durch Verformungen mit Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Becher (ohne Henkel) aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Volltorus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph.
Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie beruht auf dem grundlegenden Konzept der „Nachbarschaft“, formalisiert als offene Menge, Umgebung oder innerer Kern.
Der Begriff „Topologie“ findet sich erstmals um 1840 bei Johann Benedict Listing; die ältere Bezeichnung analysis situs (etwa: Lageuntersuchung) blieb aber lange üblich und hatte auch ihren Bedeutungsschwerpunkt jenseits der neueren, „mengentheoretischen“ Topologie.
Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler im Jahr 1736 gilt als die erste topologische und zugleich als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik. Ein anderer Betrag Eulers zur sogenannten Analysis situs ist der nach ihm benannte Polyedersatz von 1750. Bezeichnet man mit <math>e</math> die Anzahl der Ecken, mit <math>k</math> die der Kanten und mit <math>f</math> die der Flächen eines Polyeders (der noch zu präzisierenden Bedingungen genügt), so gilt <math>e - k + f = 2</math>. Erst im Jahr 1860 wurde durch eine von Gottfried Wilhelm Leibniz angefertigte Abschrift eines verlorenen Manuskriptes von René Descartes bekannt, dass dieser die Formel bereits gekannt hatte.[1]
Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein.[2] Georg Cantor befasste sich mit den Eigenschaften offener und abgeschlossener Intervalle, untersuchte Grenzprozesse, und begründete dabei zugleich die moderne Topologie und die Mengentheorie.[2] Die Topologie ist der erste Zweig der Mathematik, der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde – und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung der Mengentheorie.
Eine Definition des topologischen Raumes wurde als erstes von Felix Hausdorff[3] im Jahre 1914 aufgestellt. Nach heutigem Sprachgebrauch definierte er dort eine offene Umgebungsbasis, nicht jedoch eine Topologie, welche erst durch Kazimierz Kuratowski[4] beziehungsweise Heinrich Tietze[5] um 1922 eingeführt wurde. In dieser Form wurden die Axiome dann durch die Lehrbücher von Kuratowski (1933), Alexandroff/Hopf (1935), Bourbaki (1940) und Kelley (1955) popularisiert.[6] Es stellte sich heraus, dass sich viele mathematische Erkenntnisse auf diese Begriffsbasis übertragen ließen. Es wurde beispielsweise erkannt, dass zu einer festen Grundmenge unterschiedliche Metriken existieren, die zur gleichen topologischen Struktur auf dieser Menge führten, aber auch, dass verschiedene Topologien auf der gleichen Grundmenge möglich sind. Die mengentheoretische Topologie entwickelte sich auf dieser Grundlage zu einem eigenständigen Forschungsgebiet, das sich in gewisser Weise aus der Geometrie ausgegliedert hat, beziehungsweise der Analysis näher steht als der eigentlichen Geometrie.[7]
Ein Ziel der Topologie ist die Entwicklung von Invarianten von topologischen Räumen. Mit diesen Invarianten können topologische Räume unterschieden werden. Beispielsweise ist das Geschlecht einer kompakten, zusammenhängenden orientierbaren Fläche eine solche Invariante. Die Sphäre mit Geschlecht null und der Torus mit Geschlecht eins sind unterschiedliche topologische Räume. Die algebraische Topologie entstand aus Überlegungen von Henri Poincaré zur Fundamentalgruppe, die ebenfalls eine Invariante in der Topologie ist. Im Laufe der Zeit wurden topologische Invarianten wie die von Henri Poincaré untersuchten Bettizahlen durch algebraische Objekte wie Homologie- und Kohomologiegruppen ersetzt.[2]
Die Topologie befasst sich mit Eigenschaften topologischer Räume. Ein topologischer Raum ist zunächst einmal eine Menge von Punkten, die Struktur des Raumes bestimmt sich dann dadurch, dass bestimmte Teilmengen von Punkten als abgeschlossen ausgezeichnet werden. Abgeschlossene Mengen lassen sich als Mengen von Punkten vorstellen, die ihren Rand enthalten, oder anders ausgedrückt: Wann immer es Punkte der abgeschlossenen Menge gibt, die beliebig nah an einen anderen Punkt heranreichen (einen Berührpunkt), ist auch dieser Punkt in der abgeschlossenen Menge enthalten. Man überlegt sich, welche grundlegenden Eigenschaften im Begriff der abgeschlossenen Menge enthalten sein sollten und nennt dann, von spezifischen Definitionen der Abgeschlossenheit, etwa aus der Analysis, abstrahierend, jede mit diesen Bedingungen genügenden abgeschlossenen Teilmengen versehene Menge einen topologischen Raum. Zunächst einmal sollte die leere Menge abgeschlossen sein, denn sie enthält keinerlei Punkte, die andere berühren könnten. Ebenso sollte die Menge aller Punkte abgeschlossen sein, denn sie enthält bereits alle möglichen Berührpunkte. Ist eine beliebige Menge von abgeschlossenen Mengen gegeben, so soll der Schnitt, das heißt die Menge der Punkte, die in allen Elementen dieser Menge enthalten sind, ebenfalls abgeschlossen sein, denn hätte der Schnitt Berührpunkte, die außerhalb seiner liegen, so müsste bereits eine der zu schneidenden Mengen diesen Berührpunkt nicht enthalten, und könnte nicht abgeschlossen sein. Zudem soll die Vereinigung von zweien (oder endlich vielen) abgeschlossenen Mengen wiederum abgeschlossen sein, bei der Vereinigung zweier abgeschlossener Mengen kommen also keine Berührpunkte hinzu. Von der Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen dagegen fordert man keine Abgeschlossenheit, denn diese könnten sich einem weiteren Punkte „immer weiter nähern“ und somit berühren. Dies motiviert die folgende Definition eines topologischen Raumes:
Ausgehend von den abgeschlossenen Mengen lassen sich die offenen Mengen als die Teilmengen des Raumes definieren, deren Komplemente abgeschlossen sind, das heißt für jede abgeschlossene Menge bilden all die Punkte, die nicht in ihr enthalten sind, eine offene Menge. Üblicherweise werden topologische Räume in Lehrbüchern über die offenen Mengen definiert, analog zur Definition über abgeschlossene Mengen, definiert man:
Die Menge <math>\mathfrak{T}</math> der offenen Mengen wird auch als Topologie bezeichnet.
Dies Äquivalenz zur vorherigen Definition über abgeschlossene Mengen folgt unmittelbar aus den De Morgan’schen Gesetzen. Ausgehend von abgeschlossenen bzw. offenen Mengen lassen sich zahlreiche topologische Begriffe definieren, etwa die der Umgebung, des Berührpunktes (welche zuvor angesprochen wurden), der Stetigkeit und der Konvergenz.
Ein Homöomorphismus ist eine bijektive Abbildung („eins-zu-eins“) zwischen zwei topologischen Räumen, sodass durch punktweise Überführung der offenen Mengen auch eine Bijektion zwischen den Topologien der beiden Räume zustande kommt, dabei muss jede offene Menge auf eine offene Menge abgebildet werden. Zwei topologische Räume, zwischen denen es einen Homöomorphismus gibt, werden als homöomorph bezeichnet. Homöomorphe Räume unterscheiden sich nicht bezüglich aller topologischen Eigenschaften im engeren Sinne. Die Homöomorphismen können als die Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume aufgefasst werden.
Topologische Räume können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, beispielsweise untersucht man uniforme Räume, metrische Räume, Mannigfaltigkeiten, topologische Gruppen oder topologische Ringe. Eigenschaften, die auf solche Zusatzstrukturen zurückgreifen, sind nicht mehr unbedingt unter Homöomorphismen erhalten.
Die moderne Topologie wird grob in die drei Teilgebiete mengentheoretische Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie unterteilt. Außerdem gibt es noch die Differentialtopologie. Dies ist die Grundlage der modernen Differentialgeometrie und wird trotz der umfangreich verwendeten topologischen Methoden meist als Teilgebiet der Differentialgeometrie betrachtet.
Die mengentheoretische Topologie umfasst, wie auch die anderen Teilgebiete der Topologie, das Studium topologischer Räume und der stetigen Abbildungen zwischen ihnen. Insbesondere die für die Analysis fundamentalen Konzepte der Stetigkeit und der Konvergenz werden erst in der Terminologie der mengentheoretischen Topologie vollständig transparent. Aber auch in vielen anderen mathematischen Teilgebieten werden die Konzepte der mengentheoretischen Topologie eingesetzt. Außerdem gibt es viele mathematische Aussagen, die nur in der Terminologie der mengentheoretischen Topologie ihre natürliche und allgemeinste Formulierung haben.
Beispielsweise ist die Kompaktheit eines Raums eine Abstraktion des Heine–Borel-Prinzips. In der allgemeinen Terminologie der mengentheoretischen Topologie gilt, dass das Produkt zwei kompakter Räume wieder kompakt ist, was die Aussage verallgemeinert, dass ein abgeschlossener endlichdimensionaler Würfel kompakt ist. Außerdem gilt, dass eine stetige Funktion von einer kompakten Menge in die reellen Zahlen beschränkt ist und ihr Maximum und Minimum annimmt. Dies ist eine Verallgemeinerung des Satzes vom Minimum und Maximum.[8]
Andere zentrale Begriffe des Teilgebiets sind unterschiedliche Konzepte zum Zusammenhang und verschiedene Trennungseigenschaften.
Die algebraische Topologie (auch „kombinatorische Topologie“, vor allem in älteren Publikationen) untersucht Fragestellungen zu topologischen Räumen, indem die Probleme auf Fragestellungen in der Algebra zurückgeführt wird. Innerhalb der Algebra sind diese Fragen oftmals leichter zu beantworten. Eine zentrales Problem innerhalb der Topologie ist beispielsweise die Untersuchung topologischer Räume auf Invarianten. Mittels der Theorie über Homologien und Kohomologien sucht man in der algebraischen Topologie nach solchen Invarianten.
Im Gegensatz zur mengentheoretischen Topologie befasst man sich in der geometrischen Topologie mit zwei-, drei- und vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten und nicht allgemein mit topologischen Räumen. Der Begriff zweidimensionale Mannigfaltigkeit bedeutet das gleiche wie Fläche und drei- und vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten sind entsprechende Verallgemeinerungen. Im Bereich der geometrischen Topologie interessiert man sich dafür, wie sich Mannigfaltigkeiten unter stetigen Transformationen verhalten. Typische geometrische Größen wie Winkel, Länge und Krümmung variieren unter stetigen Abbildungen. Eine geometrische Quantität, die nicht variiert und für die man sich daher interessiert, ist die Anzahl der Löcher einer Fläche.[9] Da man sich fast nur mit Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner als fünf beschäftigt, nennt man dieses Teilgebiet der Topologie auch niedrigdimensionale Topologie. Außerdem gehört die Knotentheorie als Teilaspekt der Theorie dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten zur geometrischen Topologie.[10]
Die Allgemeinheit der topologischen Begrifflichkeit erlaubt zahlreiche Anwendungen in anderen Teilgebieten der Mathematik.
Commons: Topologie (Mathematik) – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien
Wikibooks: Mathematik: Topologie – Lern- und Lehrmaterialien
