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Zahlensystem

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern beziehungsweise Zahlzeichen dargestellt.

Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen (Stellenwert-) Zahlensystemen.

Inhaltsverzeichnis

Additionssysteme

→ Hauptartikel: Additionssystem

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (UnĂ€rsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezĂ€hlt werden soll (wie zum Beispiel die GetrĂ€nke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl <math>n</math> durch <math>n</math> Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der Ă€ltesten ZĂ€hlsysteme ĂŒberhaupt. Das UnĂ€rsystem wird bei der Darstellung grĂ¶ĂŸerer Zahlen sehr schnell unĂŒbersichtlich. Deshalb ist es meist ĂŒblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fĂŒnften Strich quer ĂŒber die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist, große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das HinzufĂŒgen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.

Hybridsysteme

Hierbei wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt; die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europĂ€ischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, spĂ€ter auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus SĂŒdindien und Sri Lanka, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

Beispiele im japanisch/chinesischen Zahlensystem

    23:  äșŒćäž‰  (2 × 10 + 3)
30.000:  侉侇    (3 × 10.000)

Stellenwertsysteme

→ Hauptartikel: Stellenwertsystem

Bei der in Alltag und Wissenschaft ĂŒblichen Schreibweise von Zahlen wird eine Zahl durch Ziffern (0, 1, 
), Vorzeichen (plus, minus) und Trennzeichen (Komma, Leerzeichen) dargestellt. Jede Ziffer steht dabei fĂŒr eine der ersten natĂŒrlichen Zahlen. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird Basis des Stellenwertsystems genannt. Die gĂ€ngigsten Basen sind 2 (Dualsystem), 8 (Oktalsystem), 10 (unser vertrautes Dezimalsystem) oder 16 (das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem). Die Ziffern werden dann je nach ihrer Stelle unterschiedlich bewertet, wobei der Stellenwert einer Potenz der Basis entspricht (zum Beispiel „Einerstelle“, „Zehnerstelle“, „Hunderterstelle“, 
). Die Stelle mit der niedrigsten Bewertung steht dabei ganz rechts. Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt dann durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte mit den zugehörigen Stellenwerten und der Addition dieser Produkte.[1]

Auf diese Weise lassen sich in einem Stellenwertsystem alle natĂŒrlichen Zahlen darstellen. FĂŒr die Erweiterung auf negative Zahlen wird ein Vorzeichen links vor die Ziffernfolge gesetzt wird, mit dem angegeben wird, ob eine Zahl positiv oder negativ ist. Durch die Verwendung negativer Potenzen lassen sich in einem Stellenwertsystem auch rationale Zahlen schreiben, wobei der Übergang von nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen in der Zahldarstellung markiert wird, beispielsweise ein Komma oder ein Punkt.

Die Menge der darstellbaren Zahlen lĂ€sst sich bei einer unbeschrĂ€nkten Anzahl von Stellen an einer Zahlengeraden veranschaulichen. Steht nur eine beschrĂ€nkte Anzahl von Stellen zur VerfĂŒgung, wird das an einem Zahlenkreis veranschaulicht. Bei dieser BeschrĂ€nkung kann eine Addition oder Subtraktion von Zahlen aus dem Bereich der darstellbaren Zahlen herausfĂŒhren.

Literatur

  •  Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
  •  John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.

Weblinks

 Wiktionary: Zahlensystem â€“ BedeutungserklĂ€rungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Numeral systems â€“ Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. ↑ Axel Böttcher, Franz Kneißl, Informatik fĂŒr Ingenieure: Grundlagen und Programmierung in C. Oldenbourg, 2012
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